Geometria Descritiva - ESIDM

MATRIZ do TESTE de GD do 11ºano de 06 de Dezembro

2011-12-04T18:09:00.005Z

Consulte a Matriz do próximo teste de 3ªfeira, dia 06 de Dezembro aqui:

MATRIZ do TESTE de 06 de DEZEMBRO

boa sorte

MATRIZ do TESTE de GD do 11ºano de 19 de Novembro

2011-10-16T17:47:00.001+01:00

Aqui fica a matriz do teste da próxima 4ª feira para os alunos do 11ºano!

Boa Sorte

MATRIZ 1ºTeste 11ºano 19 de Outubro 4ª feira

EXAME Geometria Descritiva 2ª Fase PROPOSTA de RESOLUÇÃO

2011-07-26T18:49:00.000+01:00

O Exame da 2ª Fase foi algo desequilibrado pois os primeiros dois exercícios eram muito acessíveis (o primeiro então foi dos mais acessíveis de sempre), mas os outros dois exigiam algum trabalho, principalmente o três. A perspectiva da peça no exercício quatro era fácil, bastava estar atento. Eu apostaria num exercício de secções, mas acabou por sair sombras, tal como no exame da 2ª Fase do ano passado.

Boa sorte. Esta é a minha proposta de resolução.

Até breve

Opinião sobre o EXAME 2011 - 1ª fase

2011-07-01T19:11:00.004+01:00

Boa tarde a todos.
O Exame deste ano da primeira fase era relativamente acessível. A Geometria é para ser "pensada". Como costumo dizer aos meus alunos, deve-se "pensar" a Geometria para que se possa entender a Geometria. O único exercício em que, neste exame de 2011 isso era pedido, foi o exercício 3. Era trabalhoso (o que não é nenhum defeito), obrigava a raciocinar para se obter o raio da base do prisma através dos únicos pontos fornecidos ( O´ da base de maior cota e o ponto A pertencente à base contida no plano oblíquo ). Saber executar perpendicularidades, rebatimentos, intersecções de rectas com planos e a representação de sólidos com bases contidas em planos não projectantes, que se saiba, é para se demonstrar num exame. Os alunos, neste exercício 3, tiveram de o fazer raciocinando. Os outros 3 exercícios eram fáceis sim senhor. O um muito ligeiramente mais exigente que o dois ( facílimo ) e o quatro (também muito acessível).
Continuação de bom trabalho a todos e que VIVA A GEOMETRIA.

AULAS DE SPV GD 11º ano

2011-06-08T09:37:00.002+01:00

As aulas de SPV preparação para o EXAME
terminaram.

Podem enviar as vossas dúvidas através do mail
professorjoaofcsantos@gmail.com.

Não tenham qualquer problema em enviar todo e qualquer
tipo de dúvidas acerca das matérias do Exame.

até breve.

Sólidos - Exercícios criados pelos alunos

2011-03-01T21:05:00.001Z

EXERCÍCIO criado por José Rosa e André Prata 10ºD-C

1- a) Desenhe um cubo com base contida num plano de rampa α sabendo que:

· O plano rampa α que contém a face [ABCD] do cubo tem 4 cm de afastamento e 3 cm de cota.

· A face [EFGH] está contida num plano de rampa θ com 8cm de afastamento e 6 cm de cota

· O ponto D tem cota maior que C (0; 2; 1,5)e está à esquerda do ponto A.

· O ponto D tem a mesma abcissa de E e o ponto F a mesma abcissa de C.

b) Desenhe uma pirâmide quadrangular oblíqua cuja base é o lado [ABGH] do cubo anterior e cujo vértice V se
encontra na recta de intersecção do plano de rampa θ com o P.H.P. a -9 cm de abcissa.

exercício realizado pelas alunas Ana Mafalda Henriques e Maria do Mar Vieira 10ºC

EXERCÍCIO criado por Carlos Oliveira e João Figueiras 10ºD-C

exercício realizado por Itamar Fortes e Beatriz Robalo

EXERCÍCIO criado por Ana Mafalda e Maria do Mar 10ºD

1- a) Desenhe duas pirâmides quadrangulares regulares com base comum [ABCD] sabendo que:

· O quadrado [ABCD] das bases existe num plano de topo α que faz 30º (a.d) com o P.H.P..

· O ponto O (0; 6; 5) é centro do quadrado da base que tem dois lados de frente (AB e CD) e mede 4 cm de lado.

· Os vértices das duas pirâmides são simétricos em relação ao quadrado da base e ambas medem 4 cm de altura.

exercício realizado por José Rosa e André Prata

Exercício de ângulos resolvido no "quadro interactivo" verde.

2011-02-07T23:15:00.000Z

Para ajudar na compreensão da matéria

2010-10-28T19:22:00.002+01:00

fonte =>http://dedsign.wordpress.com/programatica/desenhar/dp/

IMPORTANTE:
Ter em consideração que as ABCISSAS NEGATIVAS MARCAM-SE
para a direita do ponto de abcissa nula e não para a esquerda,
como aqui se menciona.

As projecções horizontais devem ser marcadas com 1 e não '
As projecções frontais devem ser marcadas com 2 e não "

Planos de projecção

O sistema de representação diédrica usado, também se chama: dupla projecção ortogonal ou sistema de Monge, em homenagem a este, embora já fosse conhecido anteriormente.
Empregam-se 2 planos ortogonais de projecção, os quais se costumam considerar opacos, tomando geralmente um horizontal: ν0 (niú zero) ou plano horizontal de projecção e o outro vertical: φ0 (fi zero) ou plano vertical de projecção.

Projecções
A projecção no 1º plano chama-se projecção horizontal ou planta e a que se obtém no 2º plano: projecção vertical ou alçado.
Utiliza-se, por vezes, para melhor definir os objectos a representar, uma 3ª projecção, chamada vista lateral, perfil ou corte, obtida num plano normal aos do diedro, plano de projecção de perfil.
A projecção horizontal representa-se sempre pela mesma letra ou letras, que a figura, com 1 plica ( ‘ ) – e a projecção vertical de modo semelhante, mas com 2 plicas ( ‘’ ).

Quadrantes
Os planos dividem o espaço em 4 quadrantes. Considerando um observador, de pé no ν0 e olhando para o φ0, designaremos por 1º Quadrante aquele em que ele está situado, sendo os estantes numerados pela ordem que se indica.
A intersecção de ν0 com φ0 designa-se por Linha de Terra e representa-se por LT.
Esta indica a divisão de cada um dos planos de projecção em 2 semi-planos: φ0 superior e φ0 inferior, ν0 anterior eν0 posterior.
Cada um dos Quadrantes é definido pelos respectivos semi-planos. O 1º Quadrante é definido pelo ν0 anterior e oφ0 superior e assim sucessivamente para os restantes.

Rebatimento

Por questões óbvias, em harmonia com os objectivos de maior comodidade e economia, o diedro é rebatido transformando-se o conjunto num sistema de maior simplicidade. Efectuadas as projecções no espaço, roda-se o φ0 em torno de LT, no sentido apresentado na figura. A vantagem resulta na possibilidade do sistema associar dois níveis projecção espacial no mesmo plano de representação. Considerando a natureza infinita dos planos suprime-se o rectângulo que limita a figura, indicando apenas LT.

Planos bissectores
São os planos bissectores dos 4 Quadrantes, designados por β13 (plano bissector dos Quadrantes ímpares) e β24(plano bissector dos Quadrantes Pares). À semelhança dos planos que formam o diedro, estes são normais entre si.
Em conjunto com os planos de projecção dividem o espaço em octantes.

Ponto, Recta e Plano
Ponto
Considerando que toda e qualquer figura é constituida por pontos, a aplicação do princípio relativamente ao ponto descreve-se como fundamental à projecção de qualquer elemento.
Considerando um Ponto A traçam-se duplas projectantes ortogonais: uma projectante vertical para obter a projecção horizontal e a outra, uma projectante horizontal para encontrar a projecção vertical.
Contudo, por questões de ordem prática, essas projectantes recebem a designação dos respectivos planos de projecção. Sendo que a projectante horizontal é designada por vertical por projectar o ponto
no Plano Vertical φ0 e a projectante vertical recebe a designação de horizontal por projectar o ponto no Plano Horizontal ν0.
AA’ - Projectante Horizontal
AA” - Projectante Vertical
Aplicando o método descrito em anteriormente obtém-se o resultado elementar da dupla projecção ortogonal de um ponto. Para A (A’;A”) temos em A’ o valor do afastamento medido através de AA” e em A” o valor da cota medido em AA’

Coordenadas de um Ponto
As distâncias de um ponto aos planos da dupla projecção ortogonal definem a sua posição relativamente ao diedro e designam-se por coordenadas, agrupadas na seguinte ordem de indicações:
- Abcissa ou lateralidade
Distância a um plano de perfil de referência, medida positivamente para a direita e negativamente para a esquerda da origem estabelecida em O, ponto relativo existente em LT. O local de O é escolhido de modo a centrar a figura na folha de desenho.
- Afastamento
Distância do ponto ao Plano Vertical de Projecção. Definida em AA” e na representação desenhada por A0A’. Nos 2º e 3º Quadrantes o Afastamento é negativo.
- Cota
Distância do ponto ao Plano Horizontal de Projecção. Definida em AA’ e na representação desenhada por A0A”. Nos 3º e 4º Quadrantes a Cota é negativa.

Recta
As projecções de uma recta definem-se frequentemente a partir das respectivas projecções de dois dos seus pontos. Mormente as projecções de uma recta são rectas enquanto imagens projectadas da recta dada ou alternadamente pontuais caso a recta apresentar-se em posição normal a um ou a outro plano de projecção (rectas verticais ou normais ao ν ou horizontais, de topo ou de frente, normais ao φ). Um ponto qualquer de uma recta tem as suas projecções sobre as homónimas dessa recta.
A taxonomia da posição das rectas relativamente ao diedro de projecção permite-nos constatar a generalidade dos casos possíveis e uma excepção, no caso de se tratarem de rectas de perfil.

Classificação das rectas relativamente ao diedro

Fronto Horizontal ou Horizontal de Frente
Recta paralela aos dois planos de projecção, com Cota e afastamento constantes. Se em valor absoluto o afastamento apresentar-se igual à cota, a recta também se considera pertencente ao β13 ou ao β24.
Recta projectante aos planos do diedro.

Topo

Recta paralela ao Plano Horizontal de Projecção e perpendicular ou normal ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante horizontal.

Vertical

Recta paralela ao Plano Vertical de Projecção e perpendicular ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante vertical.

Frente

Recta paralela ao Plano Vertical de Projecção e oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção.
Recta projectante vertical.

Nível

Recta paralela ao Plano Horizontal de Projecção e oblíqua ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante horizontal.

Perfil

Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção. Recta perpendicular à Linha de Terra.

Recta de perfil

Passante

Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção. Recta concorrente com a Linha de Terra. Caso notável de obliquidade.

Recta passante

Oblíqua

Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção.

Recta oblíqua

Pontos notáveis de uma recta
Consideram-se pontos notáveis de uma recta os seus traços nos planos de projecção e nos bissectores. Os primeiros indicam quando a recta transita de um quadrante para outro e os segundos traços indicam as mudanças de octantes.
Analisando o exemplo apresentado indicam-se as projecções dos traços da recta oblíqua e.

- (V’; V”) e (H’; H”) Projecções dos traços vertical e horizontal da recta considerados sobre os planos que constituem o diedro.

(H’; H”) são as projecções do traço horizontal da recta, ou da sua intersecção com ν0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por He dado que a recta está indicada por e. A constante do valor de H” é 0.
(V’; V”) são as projecções do traço vertical da recta, ou da sua intersecção com φ0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por Ve, dado que a recta está nomeada por e. A constante do valor de V’ é 0.

- (I’;I”) e (P’;P”) Projecções dos traços bissectores da recta sobre os planos β13 e β24.

(I’;I”) são as projecções do traço da recta sobre o β13. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Ie. Sendo as coordenadas de igual valor numérico os sinais relativos de positivo ou negativo indicam a localização do traço no I quadrante |+,+| (1º semi-plano β13)ambas coordenadas positivas, ou III quadrante |-,-| (3º semi-plano β13) ambas coordenadas negativas.
(P’;P”) são as projecções do traço da recta sobre o β24. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Pe. Sendo em termos absolutos as coordenadas de igual valor numérico, os sinais simétricos de positivo, negativo indicam a localização do traço na separação entre o VII e o VIII Octante |+,-|(4º semi-planoβ24), como é o exemplo ilustrado, e no caso dos sinais negativo, positivo |-,+| o traço situa-se na separação entre o III e o IV Octante (2º semi-plano β24).

Complanicidade e Propriedades
Duas rectas complanares intersectam-se ou são paralelas. Qualquer das relações anteriores permite a definição de um plano. Sendo que, para se verificar a intersecção, é obrigatório um ponto comum, com as respectivas projecções assentes sobre as projecções homónimas das rectas dadas.

1 – Concorrentes —————————————— 2 – Enviesadas

3 – Complanares ——————————— 4 – Não Complanares

Muitas vezes, mas erradamente, considera-se a intersecção das projecções como base suficiente para a verificação da concorrência entre rectas.
1 . Concorrentes
No primeiro exemplo, verifica-se a intersecção dada a existência de dois pontos comuns às rectas a e b, efectivamente B e Z são coincidentes – pois ambas as projecções são coincidentes B’≡Z’; B”≡Z” – sendo Bpertencente a a, e Z pertencente a b, logo a e b são concorrentes.
2 – Enviesadas ou não Concorrentes
No segundo exemplo, verifica-se o erro frequente em interpretar deficientemente as intersecções das projecções como prova da intersecção das rectas. Para julgar este caso, é suficiente considerar B”≠Z”, basta uma das projecções não estar coincidente e esse ponto não será comum a ambas as rectas, ou seja B∂Z (Imagem do local deB parcialmente diferente do respectivo de Z) em qualquer das projecções. O mesmo acontece relativamente ao ponto C que somente pertence à recta a.
3 – Complanares
Duas rectas concorrentes definem um Plano. Enquanto elementos geométricos de assistência à definição e pertença do plano designam-se por complanares. Os traços homónimos de cada recta definem os traços do Plano α- Traços Verticais das rectas dadas definem o Traço Vertical do Plano / Traços Horizontais das rectas dadas definem o Traço Horizontal do Plano.
4 – Não Complanares
Como apresentado acima, no desenho subordinado ao presente caso, duas rectas não complanares só erradamente apoiam o desenho de um plano. Apesar de ser possível unir as projecções dos Traços homónimos das rectas apresentadas, as rectas resultantes não representam os Traços de qualquer plano, dado o facto das rectas que o originam serem enviesadas.

Neste caso particular, o traçado parece ser possível porque a recta passante, origina o equívoco de que os seus traços (Ha e Va), em conjunto com com os traços da recta b (Hb e Vb), podem definir os traços de um plano . De facto não se tratam de duas rectas concorrentes nem paralelas e como tal não podem originar um plano > não sendo possível determinar um só plano que as contenha simultaneamente.

Em representação axonométrica é fácil visualizar a separação entre as rectas a e b. Rodando o conjunto projectivo, para debaixo melhor observar a separação a azul, é evidente a conclusão da impossibilidade complanar entre as duas rectas. Caso persistam dúvidas sobre este caso, aconselho o seu simulacro a partir de uma maqueta simples.

Para a situação seguinte de duas rectas enviesadas, as rectas k e K1 obtidas a partir da união dos traços de a e b não representam os traços de qualquer plano, mas apenas duas rectas concorrentes às rectas dadas (a e b). O facto de K e K1 não serem concorrentes entre si, mas também enviesadas, determina à partida a impossibilidade de se traçar um plano que contenha as rectas anteriores – a e b

Paralelismo

Duas rectas paralelas são complanares. O que se traduz em dupla projecção ortogonal pelo paralelismo entre as projecções homónimas desses elementos geométricos. Este princípio é válido para as rectas e planos como de seguida se poderá verificar.
Considerando a união dos respectivos traços de duas rectas paralelas obtém-se um plano definido por estas como no caso detalhadamente apresentado.

Uma recta paralela a um plano é paralela a uma qualquer recta pertencente a esse plano. Evitar o erro grosseiro de definir a relação de paralelismo apenas quando as projecções da recta se apresentem paralelas aos traços do mesmo nome do plano. Esse enunciado só será válido relativamente a planos de rampa ou passantes.
Apresentamos agora um exemplo de caso geral: f é paralelo ao plano η pois este último contém uma recta e paralela à dada. Como podemos verificar as projecções da recta f não são paralelas aos traços homónimos do plano referido.

Dois planos de rampa serão paralelos quando existir uma recta oblíqua de um, paralela a uma recta oblíqua do outro.
Este caso configura duas rectas concorrentes (o,vδ) paralelas as outras duas concorrentes (o1,vπ), se cada define um plano e define o paralelismo, logo os planos definidos serão paralelos.

[vδ,o] ⁄ ⁄ [vΠ,o1] =>δ ⁄ ⁄ Π

[vδ,o] ¬ ⁄ ⁄ [vλ,o2] =>δ ¬ ⁄ ⁄ λ

Perpendicularidade

Uma recta é considerada perpendicular a um plano quando é perpendicular a duas rectas concorrentes pertencentes a esse plano. Em dupla projecção ortogonal verifica-se tal relação quando uma recta tem as suas projecções perpendiculares aos traços do mesmo nome do plano.
Se N pertence ao plano dado, porque pertence a uma qualquer recta do plano, a perpendicular ao plano e concorrente nesse ponto do plano também será perpendicular relativamente às projectantes notáveis do mesmo plano.
PN é perpendicular à recta de frente f e à sua concorrente a recta de nível n. Se f é paralela ao traço vertical e n é paralela ao traço horizontal do plano então PN é perpendicular vη e hη e é perpendicular a qualquer recta do planoη.

Um plano é perpendicular a outro se contiver uma recta perpendicular a esse plano.
O plano ω contém a recta que incluí o segmento PN perpendicular ao plano ψ , logo o plano ω é perpendicular ao plano ψ.

Casos gerais de intersecção

A intersecção entre planos é desenhada a partir da intersecção dos traços homónimos de cada plano. A intersecção dos traços verticais dos planos indicam o traço vertical da recta (e) e do mesmo modo a intersecção dos traços horizontais dos planos determinam o traço horizontal da recta em questão.

A intersecção simultânea entre três planos origina um ponto ou um recta como se poderá deduzir dos casos acima apresentados.
Para determinar a intersecção de uma recta com um plano recorre-se a um plano auxiliar que contenha a recta dada. A intersecção entre os dois planos origina uma recta que concorre com a primeira recta (e) precisamente no seu ponto de intersecção com o plano em questão (E)

Métodos gerais

Rebatimento, Mudança de Planos e Rotação

Para a resolução de diversos problemas projectivos associados à medição ou construção de valores nas suas verdadeiras configurações e grandeza aplicam-se os seguintes métodos gerais:
- Rebatimento | De planos projectantes e de planos oblíquos sobre os planos de projecção, ou sobre planos de natureza diversa.
- Mudança de planos | Por alteração dos planos de projecção é possível transformar em projectante um dado elemento.
- Rotação | Realizam-se em torno de eixos projectantes transformando-se os elementos projectados em paralelos ou em outras relações entre os elementos projectados.

Rebatimento

Enquanto os métodos da mudança de planos e da rotação são aplicáveis a elementos existentes para além de um dado plano, o rebatimento só é aplicável a um elemento que pertença ao plano rebatido.
O rebatimento consiste em rodar um plano considerado em torno da recta da sua intersecção com outro plano. Se rodarmos o plano para uma posição projectante obteremos uma figura rebatida que se apresenta em verdadeira grandeza. É possível aplicar o raciocínio inverso e obter as projecções de uma figura a partir de dados rebatidos, como se verifica nos exemplos apresentados.

Rebatimento realizado a partir de Charneira vertical e horizontal
Considerando A como vértice de um quadrado existente sobre um dado plano vertical, procedeu-se ao rebatimentos deste sobre o plano vertical de projecção para obter o ponto A rebatido em origem projectante (PVP).
A partir de Ar é possível desenhar em verdadeira grandeza o quadrado rebatido ArBrCrDr e seguidamente realizar em operação inversa um contra-rebatimento. Obtém-se a partir deste método as projecções A’B’C’D’ eA”B”C”D”do quadrado ABCD pertencente ao plano vertical em questão.

traço vertical – charneira vertical – esquerda

traço horizontal – charneira horizontal – posterior

O rebatimento de um plano pode realizar-se a partir do seu traço vertical – charneira vertical, ou do seu traçohorizontal – charneira horizontal. Estes permitem rebatimentos à direita ou à esquerda e anteriores ou posteriores.

Aplicando o rebatimento associado ao princípio da perpendicularidade entre rectas e planos torna-se simples projectar sólidos sobre quaisquer planos. Como se indica ao lado a título de
exemplificação – dupla pirâmide desenhada a partir da sua base original A;B;C;D, primeiro recorrendo ao método do rebatimento e contra-rebatimento, e seguidamente construindo o sólido a partir do eixo perpendicular à base e ao plano que a contém (indicado a traço ponto).

Rebatimento de um plano oblíquo

O rebatimento de um plano oblíquo é realizado determinando o traço segundo uma normal à charneira do movimento. Considerando um ponto qualquer V do traço vertical desse plano segue-se esse procedimento para calcular Vr. Unindo Vr ao ponto Or de intersecção dos traços horizontal e vertical do plano obtém-se Φr. O mesmo procedimento é aplicável para o rebatimento de Φ tendo como charneira o seu traço vertical.
As referências existentes em vΦ continuam a pertencer a vΦr, ou seja, por exemplo, todo e qualquer traço vertical de uma recta pertencente a Φ, assim como para os traços horizontais em hΦ relativamente a hΦr.
O arco de circunferência apresentado no desenho é apenas um método de transposição gráfica da distância entre Ve O, que se mantém igual após o rebatimento do plano sobre o plano horizontal de projecção.
São rectas notáveis de um plano oblíquo, as rectas de frente (f) e nível (n), assim como as rectas de maior declive(d) e maior inclinação (i), normais às respectivas charneiras, caso se trate do traço horizontal ou do traço vertical.

Sólidos assentes em planos oblíquos

A resolução de problemas de sólidos com base pertencente a planos oblíquos é uma deriva da resolução adoptada também para o caso de planos projectantes como foi anteriormente tratado. O método do rebatimento e contra-rebatimento é suficiente para a determinação das projecções de bases. A projecção dos eixos ou altura desses sólidos pode ser definida a partir de planos projectantes auxiliares como se indica neste caso através do plano ω .

Mudança de planos

A mudança de planos consiste na alteração de posição de um dos planos de projecção, relativamente ao outro, mas mantendo sempre a relação diédrica entre ambos.
Cada alteração ocasiona uma nova Linha de Terra designada pelo índice - L1 T1 aplicado às novas posições introduzidas nos planos de projecção.
Quando se muda a posição de um plano de projecção mudam também as projecções nesse plano. Por isso, a natureza que fundamenta o sistema da projecção ortogonal, não sofre qualquer alteração, e as linhas projectantes dos elementos continuam normais aos planos homónimos do novo diedro.
Assim sendo, poderemos constatar através das ilustrações acima apresentadas, que para uma nova posição do φ0 a projectante de A sobre o φ1 é perpendicular a este como se deduz através da sua perpendicularidade à nova Linha de Terra L1T1. A não alteração do Plano Horizontal de Projecção determina uma cota de idêntico valor para a nova projecção vertical A1’’. O valor do afastamento é determinado pela normal da projecção A à nova posição de φ ou seja à nova Linha de Terra – L1T1.
A aplicação da mudança de planos é útil enquanto método simples e fiável para a adeterminação da verdadeira grandeza de elementos projectados, como se apresenta através do exemplo seguinte:

- Dado um segmento AB oblíquo determina-se a sua verdadeira grandeza mudando o φ como paralelo a AB. Ao definir AB para um segmento equivalente a um de nível torna-se simples medir o verdadeiro valor da sua grandeza, expressa por A1’’ B1”, a projecção vertical de AB sobre φ1.

Este método pode combinar-se com demais procedimentos aplicados em geometria descritiva.
Mudança do Plano φ Supondo que o segmento do exemplo anterior é o lado de um quadrado a definir no I Quadrante, após a mudança do PVP (posicionado paralelo a AB) poderemos desenhar sobre φ1 [L1T1] a sua projecção vertical em verdadeira grandeza A1”B1”C1”D1”.
Pretendendo construir um quadrado determinando outras hipóteses de posicionamento face aos planos originais de projecção, apresenta-se seguidamente uma estratégia simples associando a mudança de planos à rotação do elemento referido.

Uma segunda mudança do plano φ [L2T2] transforma o plano vertical definido por ABCD num plano de perfil, plano esse facilmente “controlável” para uma rotação a partir do eixo horizontal de frente definido após a faseL1T1.

Os arcos desenhados correspondem ao método utilizado para transportar as cotas definidas graficamente após a rotação do quadrado em projecção A2B2C2D2 para a sua imagem rodada AaBaCaDa.

Por reversão processam-se os valores relativos à primeira posição do diedro, obtendo-se as projecções deAaBaCaDa resultantes do primeiro momento da rotação, e AbBbCbDb do segundo momento.
Note-se que grande parte do traçado é de natureza auxiliar para o transporte dos valores de cotas e afastamentos ao longo das sucessivas mudanças de planos e da rotação do plano a que pertence o quadrado.

Resultado final sem as construções apresentadas. Projecções do quadrado A,B,C,D (A’,B’C',D’) e rotações para Aa,Ba,Ca,Da e Ab,Bb,Cb,Db. em torno de um eixo de nível.

Rotações

As rotações são essencialmente aplicadas com a finalidade de alterar a posição entre elementos ou destes relativamente aos planos de projecção.
Neste método roda-se a figura dada em torno duma recta – eixo de rotação – até que esta atinja a posição pretendida. Os planos de rotação são perpendiculares ao eixo de rotação. Por questões de simplificação os eixos de rotação devem ser desenhados perpendiculares a um dos planos de projecção.

Os eixos verticais tornam as cotas invariáveis e para caso de se utilizarem eixos de topo o afastamento é também invariável.
Deverá sempre considerar numa qualquer rotação que o valor angular aplicado à figura é sempre igual a todos os elementos dessa figura.
Este método é útil para a determinação da verdadeira grandeza de elementos não projectantes.
A sua complexidade gráfica torna-o num sistema pouco ergonómico para o desenho de peças de traçado complexo.
A rotação de uma recta ou de um segmento determina-se rodando com idêntico valor angular 2 pontos de referência. O mesmo princípio pode ser aplicado à rotação de planos rodando rectas projectantes – nível ou frente – enquanto rectas notáveis do plano dado.

Apesar da rotação não ser o processo mais prático para a obtenção de soluções simples, apresenta-se a resolução para o cálculo da verdadeira grandeza de um triângulo. Inicialmente tornamos o triângulo em
posição de topo por rotação em torno de um eixo vertical. Utiliza-se como “envelope” do primeiro A;B;C um triângulo rectângulo 1;2;3 iniciado a partir de uma recta de nível e uma perpendicular a esta. Após a rotação (para a esquerda) obtém-se 11;21;31 e A1; B1; C1. Aplicando uma segunda rotação a partir de um eixo de topo o resultado é a verdadeira grandeza de triângulo dado: 12;22;32 e A2; B2; C2 .

A resolução mais compreensível é a seguinte (rotação para a direita) e por conseguinte a preferida em termos da clareza dos passos desenvolvidos.

Desenho Geral Celso Caires
Projecções
5 Dezembro 05 – 9h30-13h00
Perpendicularidade, métodos, eixos, verdadeira grandeza e construção de sólidos.
Considere um plano definido a partir dos seguintes três 3 pontos:
- O (0;0;0)
- A (5;0;4)
- B (8;4;0)
Sobre esse plano está assente um tetraedro regular cuja base inferior é ABC. C é o ponto de maior lateralidade dessa base.
Desenhe em formato normalizado as projecções do sólido referido, aplicando as normas em vigor e seguindo os princípios de uma correcta representação gráfica rigorosa.
Escreva um relatório sucinto e fundamentado acerca das operações realizadas.
Projecções de ABC 20 | Correcção gráfica da solução 10 | Cálculo projectivo da altura do tetraedro 30 | Correcção gráfica 10 | Projecções do tetraedro 60 | Correcção gráfica 10 | Visibilidades 30 Correcção gráfica 10 | Relatório 20
200

Dado que os pontos indicados A, B e C pertencem aos traços do plano, o seu desenho é imediato.
A partir do rebatimento do plano define-se em verdadeira grandeza a base rebatida ArBrCr do Tetraedro. Por contra-rebatimento desenham-se as respectivas projecções. O eixo do tetraedro é uma recta perpendicular ao plano da base (projecções perpendiculares aos traços homónimos do plano), sendo a altura do seu vértice V calculada graficamente segundo a construção apresentada. Passando pelo eixo um plano projectante de topo, rebate-se e obtem-se o eixo rebatido.
Transporta-se com recurso ao compasso o valor de VcZc sobre o eixo rebatido, no qual já se conhece a imagem Zr. Por contra-rebatimento determinam-se as projecções de V – vértice do tetraedro.

EXAME 2010 - 1ª FASE - PROPOSTA DE CORRECÇÃO

2010-06-25T09:39:00.006+01:00

by Vera Viana

Exercícios 1, 2, 3 e 4 do Exame 2010 - 1ª fase
O primeiro e segundo exercícios podem ser resolvidos através de outros processos de construção e deteminação. Para o primeiro caso, rebatendo o plano definido pela recta s e uma recta de perfil concorrente com s e contendo P ou paralela a s por P, para o segundo, através do rebatimento do plano oblíquo onde existe o triângulo definido pela recta de frente que contém o lado LM e pela recta de perfil concorrente em M e com amplitude 50º com P.H.P.

ESTRUTURA da prova de EXAME

2010-06-20T12:07:00.000+01:00

Baseando-nos nas informações publicadas pelo GABINETE DE AVALIAÇÃO EDUCACIONAL sobre o Exame Nacional 708 e no PROGRAMA DA DISCIPLINA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A, podemos concluir que a prova obedecerá à seguinte estrutura:

Exercício 1 (um ou mais dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):
- Pontos pertencentes ao plano;
- Rectas pertencentes ao plano;
- Traços do plano;
- Intersecção entre planos;
- Intersecção entre uma recta e um plano;
- Paralelismo;
- Perpendicularidade.

Observação: para este exercício, aconselha-se o (re)estudo de toda a matéria do ano de escolaridade anterior, incluindo os capítulos da Representação dos Traços de um Plano, de Pontos e Rectas Pertencentes ao Plano (incluindo as de Maior Declive e de Maior Inclinação), Intersecção de Planos e Intersecção entre de Recta com um Plano.

Exercício 2 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):
- Distâncias
- Ângulos
- Verdadeira grandeza de figura(s) plana(s) pertencente(s) a um plano (Vertical, de topo, de perfil, oblíquo, passante ou de rampa)

Exercício 3 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):
- Sólido regular de base(s) vertical(ais), de topo, de perfil, oblíqua(s), de rampa ou passante(s)
- Sólido recto ou oblíquo (pirâmide, prisma, cilindro ou cone) de base(s) projectante(s) ou não projectante(s) e determinação da sua sombra, considerando a direcção luminosa convencional
- Sólido recto ou oblíquo (pirâmide, prisma, cilindro ou cone) de base(s) horizontal, frontal ou de perfil e determinação da secção produzida por um plano secante qualquer
- Sólido recto ou oblíquo (pirâmide, prisma, cilindro ou cone) de base(s) projectante ou não-projectante e determinação da secção produzida por um plano secante horizontal, frontal ou de perfil

Exercício 4 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Axonométrica):
- Axonometria ortogonal de um sólido simples ou composto
- Axonometria clinogonal de um sólido simples ou composto
(em qualquer um destes casos, este sólido já não é dado em Representação Tríédrica, de acordo com ESTA INFORMAÇÃO DO GAVE)

SISTEMA DIÉDRICO - RESOLUÇÕES PASSO-A-PASSO: retirados do sítio da professora Vera

2010-01-12T11:15:00.000Z

SISTEMA DIÉDRICO - RESOLUÇÕES PASSO-A-PASSO:

Observação: os processos de resolução aqui apresentados são exemplos possíveis para a resolução de cada exercício.

As resoluções dos exercícios seguintes foram executadas com o programa C.a.R., mediante o qual se apresentam animações com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

PRISMA HEXAGONAL DE BASES DE RAMPA

CUBO COM UMA FACE PERTENCENTE A UM PLANO PASSANTE

PENTÁGONO REGULAR PERTENCENTE A UM PLANO PASSANTE

PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR DE BASE OBLÍQUA

QUADRADO PERTENCENTE A UM PLANO OBLÍQUO EM TENSÃO

HEXÁGONO REGULAR PERTENCENTE A UM PLANO OBLÍQUO

PRISMA PENTAGONAL RECTO DE BASES REGULARES E OBLÍQUAS

PENTÁGONO REGULAR OBLÍQUO

Tetraedro com base contida em plano de rampa - exer. 136 da pág 176 do manual

2010-01-12T10:43:00.006Z

Construção de Prisma quadrangular assente em plano oblíquo ( ex. do manual )

2010-01-08T18:57:00.000Z

Aula 43 de 08 de Janeiro - 11ºB

Aula nº41 - 4 de janeiro 2010 - 11ºB

2010-01-03T17:07:00.001Z

AULA nº41 - => AQUI

Exemplo de exercício onde se determinou o ângulo entre uma recta oblíqua r e um plano vertical.

Método Geral:

Determina-se a intersecção da recta r com o plano vertical α - Ponto I
Por um ponto P da recta r, faz-se passar uma recta p ortogonal ao plano vertical α.
Encontra-se a intersecção da recta p com o vertical α. - Ponto P'

P' e I definem a recta r' que é a projectante da recta r no plano vertical α.

Rebate-se o ponto I e as respectivas rectas r e r´, encontrando-se assim a verdadeira grandeza do ângulo entre a recta r e o plano vertical α

Informações-Exame 2009-2010!

2009-12-30T18:56:00.002Z

Já se encontram disponíveis as informações relativas aos exames que se irão realizar no corrente ano lectivo.
Estão na página do GAVE em http://www.gave.min-edu.pt/np3/276.html

Para a "nossa" Geometria, todas as informações estão aqui em PDF para consulta
INFORMAÇÕES EXAME GEOMETRIA => AQUI
.

Boas Festas

2009-12-27T18:03:00.001Z

Instalação criada em conjunto com os alunos de Educação Tecnológica do professor Luís Sequeira

Exercícios Excelentes para estudar para o teste de amanhã ( 10º B )!!

2009-12-10T12:53:00.000Z

Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços

No seguimento do que foi explicado aqui e também aqui, sobre as condições de pertença de uma recta a um plano e de um ponto a um plano, proponho a realização de alguns dos meus exercícios sobre o assunto.
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.

1. Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A recta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as recta p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.
2. Um plano é definido por um ponto A e uma recta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A recta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A recta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projecção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respectivamente, ao beta 13 e ao beta 24.

Observação: Se o plano for definido por uma recta e um ponto exterior, há que desenhar outra recta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma recta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):

1. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).
2. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A recta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projecção frontal da recta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?

Resposta: Obtemos uma recta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:

3. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano intersecta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).

Observação: Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.

4. Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abert. para a esquerda)
- O plano intersecta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projecções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros ímpares.

Verdadeiras Grandezas - 11ºano - Problemas métricos ( Distâncias )

2009-11-18T19:27:00.001Z

Problemas métricos - Distâncias nos exames nacionais de Geometria Descritiva

1. Exame 2002 – 1ª fase 2ª Chamada (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d do ponto P ao plano oblíquo alfa.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o plano alfa intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, ambos, ângulos de 45º (de abertura para a direita) com o eixo x.

2. Exame 2003 – 2ª fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d do ponto P à recta de frente f.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o traço horizontal H da recta f tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
- a recta faz um ângulo de 30º (de abertura a direita) com o plano horizontal de projecção, medido no 1º diedro.

3. Exame 2004 – 1ª fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I pelas suas projecções.
Dados:
- o segmento de recta [HI] está contido numa recta de perfil p, que é definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota
- o ponto H é o traço horizontal da recta p
- o ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com e eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita), intersectando-o num ponto com 5 de abcissa.

4. Exame 2004 – 2ª fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d entre os planos paralelos alfa e beta.
Dados:
- o plano alfa contém uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projecção no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projecção horizontal faz um ângulo de 60º (de abertura a direita) com o eixo x;
- o plano beta contém uma recta obliqua b, cujos traços nos planos de projecção são os pontos Hb (3; 4; 0) e Fb (-3; 0; 6).

5. Exame 2006 - 2º Fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distancia d, entre o ponto P e a recta de perfil p.
Dados:
- o ponto P tem 2 de abcissa, 2 de afastamento e 3,5 de cota;
- a recta de perfil p é definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2)

6. Exame 2007 - 2ª Fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d do ponto P à recta passante r.
Dados:
– o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem –4 de abcissa e 4,5 de cota;
– os traços da recta r têm 4 de abcissa;
– as projecções da recta fazem, ambas, ângulos de 50° (de abertura à direita) com o eixo x.

7. Exame de 2009 - 2ª Fase (programa em vigor a partir de 2006)

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, alfa e beta.

Dados:

- o traço frontal do plano alfa intersecta o eixo x no ponto com -10 de abcissa e faz um ângulo de 60ª com abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo.

- o plano beta contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10, 7; -3)

Resumo do Alfabeto do Plano - 10º ano

2009-11-18T10:05:00.003Z

Plano de Frente ou Frontal
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta de frente (f)
   - Recta vertical (v)
   - Recta fronto-horizontal (h)

Plano de Nível ou Horizontal
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta de nível (n)
   - Recta de topo (t)
   - Recta fronto-horizontal (h)

Plano Oblíquo
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta de nível (n)
   - Recta de frente (f)
   - Recta oblíqua (r)
   - Recta de perfil (p)
   - Recta passante (g)

Plano Passante
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta fronto-horizontal (h)
   - Recta passante oblíqua (r)
   - Recta passante de perfil (p)

Plano de Perfil
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta de topo (t)
   - Recta vertical (v)
   - Recta de perfil (p)
   - Recta passante de perfil (g)

Plano de Rampa
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta fronto-horizontal (h)
   - Recta oblíqua (r)
   - Recta de perfil (p)

Plano de Topo
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta de topo (t)
   - Recta de frente (f)
   - Recta oblíqua (r)
   - Recta passante (g)

Plano de Vertical
Pode conter as seguintes rectas:
   - Recta de vertical (v)
   - Recta de nível (n)
   - Recta oblíqua (r)
   - Recta passante (g)

Rectas - 10ºB

2009-10-14T15:17:00.000+01:00

Recta vertical, oblíqua ou passante

Neste desenho, as posições da recta s variam entre:
- vertical (quando a recta s é perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção e paralela ao Plano Frontal de Projecção);
- oblíqua (quando a recta s é oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção, mas não intersecta o eixo x);
- oblíqua passante ou, simplesmente, passante (quando a recta s é oblíqua aos dois Planos de Projecção, intersectando-os no eixo x).
As projecções da recta s em cada uma das situações referidas poderão ser as seguintes:
- quando a recta s é vertical, s1 projecta-se apenas num único ponto, coincidente com a projecção horizontal do ponto A (A1); enquanto que s2 é perpendicular ao eixo x;
- quando a recta s é oblíqua, tanto s1 como s2 são oblíquas ao eixo x (mas não se intersectam no eixo x);
- quando a recta s é passante, as projecções s1 e s2 são oblíquas ao eixo x e intersectam-se no eixo x, ficando os seus traços frontal e horizontal coincidentes (e com a cota e afastamento nulos), porque a recta s intersecta o P.F.P. no exacto ponto em que a recta intersecta também o P.H.P..
O comprimento do segmento de recta [HsA] projectar-se-á em verdadeira grandeza apenas na situação em que a recta s é vertical (quando s2 é perpendicular ao eixo x, projectando-se a verdadeira grandeza entre H2s e A2). Quando a recta s é passante ou oblíqua, nunca se projectará em verdadeira grandeza em nenhum dos Planos de Projecção.

retirado do blog da professora Vera.

PERPENDICULARIDADE e ORTOGONALIDADE - 11ºB

2009-10-04T10:39:00.000+01:00

Perpendicularidade nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

Nos Exames Nacionais, saíram apenas dois exercícios de Perpendicularidade, porque foi apenas a partir de 2006 que esta matéria passou a ser leccionada no último ano de escolaridade da disciplina:

Exame de 2006 - 2ª Fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006):
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

Exame de 2007 - 2ª fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006):
Determine os traços do plano beta, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano alfa contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
- o plano beta contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

Domingo, 4 de Outubro de 2009

Ficha de trabalho - Perpendicularidade

1. Determina as projecções de uma recta r, sabendo que:
- o seu traço horizontal tem abcissa nula e 6 de afastamento
- o seu traço frontal tem 7 de abcissa e 3 de cota negativa.
1.1. Desenha um plano alfa, perpendicular à recta r, sabendo que contém o ponto P (-4; 4; 4).

2. Considera a mesma recta do exercício anterior e desenha as projecções de uma outra recta s, paralela ao Plano Frontal de Projecção, de direcção perpendicular à da recta r, passando pelo ponto P (3; 2,5; 2).

3. Desenha as projecções de uma recta horizontal h, sabendo que:
- o seu traço frontal tem 3 de cota e 2 de abcissa negativa
- faz um ângulo de 30º (a.p.e.) com o P.F.P.
3.1. Desenha uma recta p, oblíqua e perpendicular à recta h, sabendo que é concorrente com esta num ponto do beta13.

4. Considera a mesma recta h do exercício anterior e desenha as projecções de uma recta a, também horizontal, mas ortogonal à recta h. (rectas ortogonais têm direcções perpendiculares, mas não são concorrentes).5. Desenha uma recta r, sabendo que:
- contém o ponto A (0; 2,5; 4)
- as suas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita.
5.1. Desenha as projecções de uma recta oblíqua s, de direcção perpendicular à da recta r, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- contém o ponto P (-6; 2; 4)

6. Considera um plano de rampa alfa, cujos traços horizontal e frontal têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.
6.1. Determina as projecções de uma recta g, perpendicular ao plano de rampa, sabendo que contém P (3; 4)

Unidade 2 - PERPENDICULARIDADE - ORTOGONALIDADE

O segundo conteúdo programático inclui os seguintes sub-temas:

Noção de perpendicular e de ortogonal
Constatação de que as rectas que têm ambas as projecções homónimas perpendiculares não são perpendiculares no espaço (excepto no caso das rectas fronto-horizontal e de perfil)
Rectas horizontais perpendiculares entre si
Rectas frontais perpendiculares entre si
Rectas horizontais ortogonais entre si
Rectas frontais ortogonais entre si
Recta horizontal perpendicular a uma recta oblíqua
Recta frontal perpendicular a uma recta oblíqua
Recta horizontal ortogonal a uma recta oblíqua
Recta frontal ortogonal a uma recta oblíqua
Outras rectas perpendiculares entre si (excluindo os casos das rectas oblíquas)
Recta perpendicular a um plano dado (incluindo o plano de rampa)
Plano perpendicular a uma recta (incluindo a recta de perfil)
Rectas oblíquas perpendiculares entre si
Planos oblíquos perpendiculares entre si
Planos de rampa perpendiculares entre si
Planos perpendiculares aos planos bissectores
Outros planos perpendiculares entre si

Para leccionar esta unidade deverão ser necessários ( previsivelmente ) cerca de 6 tempos lectivos (três aulas de 90 minutos cada).

PROJECÇÕES ORTOGONAIS - 10º ano

2009-09-29T22:26:00.000+01:00

Para melhor se entender o porquê deste método de representação.

PARALELISMOS - Aula de hoje 11º ano

2009-09-23T22:39:00.001+01:00

Quarta-feira, 23 de Setembro de 2009

Paralelismo nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva e Ficha de Trabalho

O Paralelismo apareceu apenas uma única vez nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva, no exercício seguinte:
1. Exame de 2008, 2ª fase (GD-A, em vigor a partir de 2006)
Determine as projecções da recta b paralela ao plano α e ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).
– o plano α é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
– o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
– a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).
Observação: Para a determinação da recta pedida, era necessário definir uma outra recta pertencente ao plano oblíquo dado e ao beta 2,4 (esta recta é, necessariamente, passante, com as projecções coincidentes e tem de conter pelo menos dois pontos do plano, também com as projecções coincidentes). Nesta proposta de resolução, a recta i foi definida pelo ponto I da recta oblíqua r e pelo ponto I', da recta passante s). Podiam ter sido determinados os traços do plano oblíquo, mas não eram necessários.
Para praticarem este conteúdo, sugiro a resolução dos seguintes exercícios:

Ficha de Trabalho - Paralelismo
1. Considerando um plano oblíquo, desenha uma recta horizontal h, paralela a esse plano, sabendo que
- o plano oblíquo contém a recta r
- a recta r é definida por A (0; 3; 2) e B (4; -4; 4)

- o traço frontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.p.e.)

- a recta h contém o ponto P (-3; 2; 6)

(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)

2. Passando pelo ponto P (-3; 3), desenhar um plano beta, paralelo ao plano de rampa téta, cujos traços frontal e horizontal têm, respectivamente, 5 de cota e 3 de afastamento.
3. Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa, definido por um ponto A (4; 2; 8) e por uma recta de perfil p, que contém os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).
3.1. Determine ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto W (0; 0; 4)
(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)4. Determina os traços de um plano oblíquo alfa, definido pelo ponto A (-3; 2; 3) e por uma recta frontal f, que contém o ponto B (-7; 5; -5) e cuja projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x.
4.1. Determina ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto X, situado na origem das coordenadas.
(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)5. Representa um plano oblíquo alfa, sabendo que os seus traços horizontal e frontal se intersectam num ponto de abcissa nula e que fazem, com o eixo x, ângulos de 45º (a.p.e.) e 60º (a.p.d.).
5.1. Determina os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto P (-3; 3; 3).

Unidade 1 - PARALELISMO

Este primeiro conteúdo programático inclui os seguintes sub-temas:

Rectas paralelas entre si (incluindo rectas de perfil)
Rectas paralelas a um plano dado
Rectas paralelas a planos bissectores
Plano paralelo a uma recta dada
Planos paralelos entre si (incluindo planos de rampa)

Para leccionar esta unidade deverão ser necessários cerca de 4 tempos lectivos (duas aulas de 90 minutos cada).

retirado do blogue da professora Vera

Exercícios do teste diagnóstico do 11º ano

2009-09-21T00:53:00.000+01:00

EXERCÍCIOS DO TESTE DIAGNÓSTICO

Basta clicar Aqui => RESOLUÇÃO

Mensagem de boas-vindas e de óptimo ano escolar 2009 - 2010

2009-09-16T15:22:00.002+01:00

A todos os alunos e professores que por aqui venham de visita, um grande bem-haja.

Esta "ferramenta" é hoje aberta a todos os interessados para que possa ajudar na compreensão, divulgação, comunicação e informação nas específicas matérias relacionadas com a disciplina de Geometria Descritiva na nossa escola.

Bom ano e Bom Trabalho

JS.

Plano de Frente ou Frontal Pode conter as seguintes rectas: - Recta de frente (f) - Recta vertical (v) - Recta fronto-horizontal (h)
Plano de Nível ou Horizontal Pode conter as seguintes rectas: - Recta de nível (n) - Recta de topo (t) - Recta fronto-horizontal (h)
Plano Oblíquo Pode conter as seguintes rectas: - Recta de nível (n) - Recta de frente (f) - Recta oblíqua (r) - Recta de perfil (p) - Recta passante (g)
Plano Passante Pode conter as seguintes rectas: - Recta fronto-horizontal (h) - Recta passante oblíqua (r) - Recta passante de perfil (p)
Plano de Perfil Pode conter as seguintes rectas: - Recta de topo (t) - Recta vertical (v) - Recta de perfil (p) - Recta passante de perfil (g)
Plano de Rampa Pode conter as seguintes rectas: - Recta fronto-horizontal (h) - Recta oblíqua (r) - Recta de perfil (p)
Plano de Topo Pode conter as seguintes rectas: - Recta de topo (t) - Recta de frente (f) - Recta oblíqua (r) - Recta passante (g)
Plano de Vertical Pode conter as seguintes rectas: - Recta de vertical (v) - Recta de nível (n) - Recta oblíqua (r) - Recta passante (g)