11ºA - 15:40 às 17:30
01 - EXERCÍCIO 01: Professor João
Seção com PLANO OBLÍQUO -
CONCLUSÃO em CASA - TPC
Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua de base frontal, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados
– a base da pirâmide é um quadrado ABCD (situado num plano frontal), e tem como centro o ponto O (5; 5; 5);
– o ponto A é um dos vértices da base, tem 8,5 de abcissa e 3 de cota;
– o vértice da pirâmide é o ponto V pertencente ao Plano Frontal de Projeção, com 2 cm de abcissa e 9 cm de cota.
- Represente a figura da seção provocada na pirâmide por um Plano oblíquo Alfa que faz 70º (a.d.) em ambas as projeções com e que contém um Ponto R da linha X com 8 cm de abcissa.
VÍDEO - exemplo de uma seção efetuada por um Plano Oblíquo numa pirâmide quadrangular regular.
PRIMEIROS EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DESTE BLOGUE GERADOS EXCLUSIVAMENTE POR AI - SEÇÕES
Geometria Descritiva A – 11.º ano – Secções (2 exercícios)
22/10/2026 · @João Santos
Exercício 1 – Figura da secção
Item 1: Determine a figura da secção produzida por um plano de topo numa pirâmide quadrangular regular, em projeções e em verdadeira grandeza, sabendo que:
- A base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no Plano Horizontal de Projeção (PHP), com os vértices A(0; 2; 0), B(6; 2; 0), C(6; 8; 0) e D(0; 8; 0).
- O vértice V da pirâmide tem coordenadas (3; 5; 6), pertencendo à reta perpendicular ao PHP que passa pelo centro da base.
- O plano α é um plano de topo, definido pelos pontos M(−2; 1; 0) e N(7; 4; 6), e secciona a pirâmide.
Resolva por esta ordem:
- Represente a pirâmide completa, em projeções, e o plano α, pelos seus traços. (20 pontos)
- Determine as projeções da figura da secção produzida pelo plano α na pirâmide, designando cada vértice da secção pelo número da aresta lateral a que pertence: 1 em [VA], 2 em [VB], 3 em [VC] e 4 em [VD]. (30 pontos)
- Determine a verdadeira grandeza (VG) da figura da secção, e sombreie-a a lápis. (40 pontos)
- Indique, por extenso, o nome do polígono que constitui a figura da secção. (10 pontos)
Total: 100 pontos
Exercício 2 – Sólido resultante da secção
Item 2: Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo num prisma hexagonal regular reto, sabendo que:
- O prisma tem bases [ABCDEF] e [GHIJKL] e arestas laterais [AG], [BH], [CI], [DJ], [EK] e [FL], perpendiculares ao Plano Horizontal de Projeção (PHP) e com 7 cm de comprimento.
- A base [ABCDEF] é um hexágono regular de 3 cm de lado, contido no PHP e com centro O′(5; 5; 0).
- Os vértices A(8; 5; 0) e D(2; 5; 0) são vértices opostos do hexágono; os vértices B e C têm afastamento superior ao de A, e a sequência A, B, C, D, E, F percorre o hexágono num único sentido.
- O plano δ é um plano de topo, definido pelos pontos M(9; 4; 2) e N(1; 6; 6), e secciona o prisma.
- Do prisma retira-se a parte que contém a base [GHIJKL]; o sólido resultante é o que contém a base [ABCDEF].
Resolva por esta ordem:
- Represente o prisma completo, em projeções, e o plano δ, pelos seus traços; construa o hexágono com régua e compasso, sem usar valores aproximados. (20 pontos)
- Determine as projeções da figura da secção produzida pelo plano δ no prisma, designando cada vértice da secção por A1, B1, C1, D1, E1 e F1, sendo cada um o ponto da aresta lateral que nasce no vértice com a mesma letra. (30 pontos)
- Represente, em projeções, o sólido resultante da secção, com as arestas cortadas a terminarem nos vértices da secção e aplicando as convenções de visibilidade. O prisma retirado não é representado. (40 pontos)
- Indique o número de faces, de arestas e de vértices do sólido resultante. (10 pontos)
Total: 100 pontos
Elementos de correção (só para o professor)
Em ambos os exercícios o plano de topo tem o traço frontal fα a passar pelas projeções frontais dos dois pontos dados e o traço horizontal hα perpendicular ao eixo x, no ponto onde fα o corta.
Exercício 1. fα corta o eixo x no ponto de abcissa −2, pelo que hα é perpendicular a x nesse ponto. O plano corta as quatro arestas laterais e não toca na base, pelo que a secção é um quadrilátero.
Ponto | Aresta | Coordenadas (abcissa; afastamento; cota) |
|---|---|---|
1 | [VA] | (1; 3; 2) |
2 | [VB] | (4; 4; 4) |
3 | [VC] | (4; 6; 4) |
4 | [VD] | (1; 7; 2) |
A figura é um trapézio isósceles com bases [14] = 4 cm (paralela ao eixo y) e [23] = 2 cm. A altura mede √13 ≈ 3,61 cm e os lados oblíquos √14 ≈ 3,74 cm. A área é cerca de 10,8 cm². Na mudança de diedro, o novo eixo x₁ é paralelo a fα e a figura aparece em VG no plano horizontal novo.
Exercício 2. fδ corta o eixo x no ponto de abcissa 13, pelo que hδ é perpendicular a x nesse ponto. O plano corta as seis arestas laterais e não toca nas bases, pelo que a secção é um hexágono. Os valores com duas casas decimais resultam de 3 × sen 60° ≈ 2,60.
Ponto | Aresta | Coordenadas (abcissa; afastamento; cota) |
|---|---|---|
A1 | [AG] | (8; 5; 2,5) |
B1 | [BH] | (6,5; 7,6; 3,25) |
C1 | [CI] | (3,5; 7,6; 4,75) |
D1 | [DJ] | (2; 5; 5,5) |
E1 | [EK] | (3,5; 2,4; 4,75) |
F1 | [FL] | (6,5; 2,4; 3,25) |
- Projeção horizontal do sólido: o hexágono da base, com a secção por cima (visível) e os pontos das arestas laterais; não há arestas invisíveis fora do contorno.
- Projeção frontal: trapézio de vértices (8; 0), (2; 0), (2; 5,5) e (8; 2,5) em abcissa e cota. As arestas [BB1] e [CC1] são visíveis, porque pertencem às faces com maior afastamento, e [FF1] e [EE1] coincidem com elas mas são invisíveis.
- Pedido final: 8 faces (6 laterais, a base e a secção), 18 arestas e 12 vértices.
