Determine as projeções de uma reta i de interseção entre
um plano de rampa Alfa e o Beta 2.4, sabendo que:
Dados:
- O Ponto A ( -1; 2; 3) pertence a uma retaoblíqua s
cujas projeções frontal e horizontal fazem 30ª (a.d)
e 45º (a.d.), respetivamente;
- O plano Alfa é paralelo à reta s e o seu traço frontal
tem -5 cm de cota.
02 - EXERCÍCIO Professor João: V.G. de Figuras - Determine as projeções de um Triângulo Retângulo ABC
existente num Plano Oblíquo Alfa, sabendo que: - O ponto A ( -4 ; 4; 7 ) e B (0, 0, 0) são vértices
consecutivos do menor lado do triângulo; - O Plano Alfa faz 50º abertura para a direita na suaprojeção Frontal; - O lado AC do triângulo mede 10 cm;
03 - EXERCÍCIO Professor João: Seção de Sólido
- Determine as projeções de um prisma pentagonal regular
sabendo que: - A base ABCDE de menor abcissa é de perfil;
- O Ponto O é o centro dessa base, tem 5 cm de cota e
existe no Beta 1.3.;
- O lado CD da base é paralelo ao Plano Horizontal
de Projeção e tem 1,5 cm de cota; - O prisma tem 7 cm de altura.
Determine a seção provocada no sólido por um plano de rampa que contém o eixo do prisma e que é paralelo ao lado de maior afastamento e maior cota do sólido.
04 - EXERCÍCIO Professor João: Sólido:
- Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base horizontal.
DADOS: - O ponto O (0;3;1) é o centro do quadrado da base.
- O ponto D (3;4;1) é um dos vértices da base.
- A altura da pirâmide é de 6,5cm.
- Determine a seção feita na pirâmide por um plano de topo que contém um Ponto da linha X com 7 de abcissa e que faz 30º (a.d.) com o P.H.P..
05 - Determine as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta p e um Plano oblíquo Alfa, sabendo que:
- O plano Alfa contém o ponto A do Beta 1.3. com 3 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;
-Os traços horizontal e frontal do Plano Alfa são coincidentes;
O traço horizontal de Plano Alfa define um ângulo de 60º (a.e.) de abertura à esquerda, com o eixo X;
- A reta p é de perfil, está contida no plano bissetor dos diedros pares, Beta 2,4,, e tem -5cm de abcissa.
06 - Determine as projeções de um triângulo equilátero [LMN], contido no plano passante θ, sabendo que: Dados
o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (−6; 6; 4);
o vértice L do eixo x tem zero de abcissa, e o vértice M pertence à reta fronto-horizontal que contém o ponto P;
a reta que contém o lado [LM] define um ângulo de 55º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical δ num cubo. Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção. Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção. Dados:
a face [ABCD] do cubo pertence a um plano de perfil com zero de abcissa;
o vértice A tem 5 de cota e pertence ao Plano Frontal de Projeção;
o lado [AB] define um ângulo de 50º com o Plano Horizontal de Projeção e o vértice B tem cota nula;
a outra face de perfil tem abcissa negativa;
o plano δ define um diedro de 30º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção e contém o vértice de maior cota da face de perfil com abcissa zero.
SUMÁRIO: Estudo dos rebatimentos de planos oblíquos
Introdução ao estudo do rebatimento de planos de rampa
MÉTODO PARA REBATER PONTOS EM PLANOS NÃO PROJETANTES
( oblíquos, de rampa e passantes )
1º Definir h do plano como Eixo1 (eixo do rebatimento);
*
2º Pela projeção horizontal do ponto que queremos rebater, marcamos uma linha paralela ao eixo e uma linha perpendicular ao eixo (traço h do Plano);
*
3º Marcar a medida da cota na linha paralela ao eixo;
*
4º Onde a linha perpendicular ao eixo toca no eixo, colocar o compasso até à medida anterior de cota marcada na paralela e rodar até à linha perpendicular. É nesse lugar que estará o local do Ponto rebatido.
Exercício 01
Represente o triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro. Dados
o triângulo está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (4; 3; 2), e um dos seus vértices é o ponto A (6; 1 ; 4)
o triângulo está contido no plano oblíquo ω,cujo traço horizontal faz um ângulo de 55º com o eixo x (de abertura para a esquerda).
Represente umapirâmide quadrangular oblíqua de base frontal,situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Dados – a base da pirâmide é um quadrado ABCD (situado num plano frontal), e tem como centro o ponto O (5; 5; 5); – o ponto A é um dos vértices da base, tem 8,5 de abcissa e 3 de cota; – o vértice da pirâmide é o ponto V pertencente ao Plano Frontal de Projeção, com 2 cm de abcissa e 9 cm de cota.
- Represente a figura da seção provocada na pirâmide por um Plano oblíquo Alfaque faz 70º (a.d.) em ambas as projeções com e que contém um Ponto R da linha X com 8 cm de abcissa.
VÍDEO - exemplo de uma seção efetuada por um Plano Oblíquo numa pirâmide quadrangular regular.
PRIMEIROS EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DESTE BLOGUE GERADOS EXCLUSIVAMENTE POR AI - SEÇÕES
Geometria Descritiva A – 11.º ano – Secções (2 exercícios)
22/10/2026 · @João Santos
Exercício 1 – Figura da secção
Item 1: Determine a figura da secção produzida por um plano de topo numa pirâmide quadrangular regular, em projeções e em verdadeira grandeza, sabendo que:
A base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no Plano Horizontal de Projeção (PHP), com os vértices A(0; 2; 0), B(6; 2; 0), C(6; 8; 0) e D(0; 8; 0).
O vértice V da pirâmide tem coordenadas (3; 5; 6), pertencendo à reta perpendicular ao PHP que passa pelo centro da base.
O plano α é um plano de topo, definido pelos pontos M(−2; 1; 0) e N(7; 4; 6), e secciona a pirâmide.
Resolva por esta ordem:
Represente a pirâmide completa, em projeções, e o plano α, pelos seus traços. (20 pontos)
Determine as projeções da figura da secção produzida pelo plano α na pirâmide, designando cada vértice da secção pelo número da aresta lateral a que pertence: 1 em [VA], 2 em [VB], 3 em [VC] e 4 em [VD]. (30 pontos)
Determine a verdadeira grandeza (VG) da figura da secção, e sombreie-a a lápis. (40 pontos)
Indique, por extenso, o nome do polígono que constitui a figura da secção. (10 pontos)
Total: 100 pontos
Exercício 2 – Sólido resultante da secção
Item 2: Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo num prisma hexagonal regular reto, sabendo que:
O prisma tem bases [ABCDEF] e [GHIJKL] e arestas laterais [AG], [BH], [CI], [DJ], [EK] e [FL], perpendiculares ao Plano Horizontal de Projeção (PHP) e com 7 cm de comprimento.
A base [ABCDEF] é um hexágono regular de 3 cm de lado, contido no PHP e com centro O′(5; 5; 0).
Os vértices A(8; 5; 0) e D(2; 5; 0) são vértices opostos do hexágono; os vértices B e C têm afastamento superior ao de A, e a sequência A, B, C, D, E, F percorre o hexágono num único sentido.
O plano δ é um plano de topo, definido pelos pontos M(9; 4; 2) e N(1; 6; 6), e secciona o prisma.
Do prisma retira-se a parte que contém a base [GHIJKL]; o sólido resultante é o que contém a base [ABCDEF].
Resolva por esta ordem:
Represente o prisma completo, em projeções, e o plano δ, pelos seus traços; construa o hexágono com régua e compasso, sem usar valores aproximados. (20 pontos)
Determine as projeções da figura da secção produzida pelo plano δ no prisma, designando cada vértice da secção por A1, B1, C1, D1, E1 e F1, sendo cada um o ponto da aresta lateral que nasce no vértice com a mesma letra. (30 pontos)
Represente, em projeções, o sólido resultante da secção, com as arestas cortadas a terminarem nos vértices da secção e aplicando as convenções de visibilidade. O prisma retirado não é representado. (40 pontos)
Indique o número de faces, de arestas e de vértices do sólido resultante. (10 pontos)
Total: 100 pontos
Elementos de correção (só para o professor)
Em ambos os exercícios o plano de topo tem o traço frontal fα a passar pelas projeções frontais dos dois pontos dados e o traço horizontal hα perpendicular ao eixo x, no ponto onde fα o corta.
Exercício 1. fα corta o eixo x no ponto de abcissa −2, pelo que hα é perpendicular a x nesse ponto. O plano corta as quatro arestas laterais e não toca na base, pelo que a secção é um quadrilátero.
Ponto
Aresta
Coordenadas (abcissa; afastamento; cota)
1
[VA]
(1; 3; 2)
2
[VB]
(4; 4; 4)
3
[VC]
(4; 6; 4)
4
[VD]
(1; 7; 2)
A figura é um trapézio isósceles com bases [14] = 4 cm (paralela ao eixo y) e [23] = 2 cm. A altura mede √13 ≈ 3,61 cm e os lados oblíquos √14 ≈ 3,74 cm. A área é cerca de 10,8 cm². Na mudança de diedro, o novo eixo x₁ é paralelo a fα e a figura aparece em VG no plano horizontal novo.
Exercício 2. fδ corta o eixo x no ponto de abcissa 13, pelo que hδ é perpendicular a x nesse ponto. O plano corta as seis arestas laterais e não toca nas bases, pelo que a secção é um hexágono. Os valores com duas casas decimais resultam de 3 × sen 60° ≈ 2,60.
Ponto
Aresta
Coordenadas (abcissa; afastamento; cota)
A1
[AG]
(8; 5; 2,5)
B1
[BH]
(6,5; 7,6; 3,25)
C1
[CI]
(3,5; 7,6; 4,75)
D1
[DJ]
(2; 5; 5,5)
E1
[EK]
(3,5; 2,4; 4,75)
F1
[FL]
(6,5; 2,4; 3,25)
Projeção horizontal do sólido: o hexágono da base, com a secção por cima (visível) e os pontos das arestas laterais; não há arestas invisíveis fora do contorno.
Projeção frontal: trapézio de vértices (8; 0), (2; 0), (2; 5,5) e (8; 2,5) em abcissa e cota. As arestas [BB1] e [CC1] são visíveis, porque pertencem às faces com maior afastamento, e [FF1] e [EE1] coincidem com elas mas são invisíveis.
Pedido final: 8 faces (6 laterais, a base e a secção), 18 arestas e 12 vértices.
Item 1: Determine
o ponto I de interseção de uma reta
oblíqua s com um plano oblíquo, sabendo que: ·A
reta oblíqua s é perpendicular ao
plano oblíquo; ·O plano oblíquoestá definido pelo ponto P( 3; 0; 0 ) e por uma reta frontal f que faz 50º (a.d.) com o P.H.P ·O
traço horizontal da reta f é o ponto
H ( -2; 3: 0 ). ·A
reta oblíqua s contém o ponto S ( 4; -6; 4). ( 60 pontos )
Item 2: ·Represente pelas suas projeções, o sólido resultante da seção produzida
por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base
contida num plano frontal, situada no primeiro diedro. Dados: ·O ponto A (5; 8; 3) e o
ponto B (– 1; 8; 1) são dois vértices do quadrado [ABCD]
da base da pirâmide; ·O vértice V pertence à mesma
reta de topo que contém o ponto A e tem 0 de afastamento; ·O plano θ contém um ponto do eixo x com
– 4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º, de abertura para
a esquerda, com esse eixo. ·Considere a parte do sólido compreendida entre o Plano vertical e o Plano
Frontal de projeção. (70
pontos)
Item 3: Determine as projeções de
um cone oblíquo de base horizontal, sabendo
que: ·O
ponto O (4; 6; 8) é o centro da
base, que mede 4 cm de raio. ·O
vértice V (6; 6; 0) é o ponto de menor
cota do cone; ·Determine
a seção provocada no cone por um plano frontal α com 8 cm de afastamento. (70 pontos)
