Exercício 1

Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF], pertencente a um plano de rampa ρ, sabendo que:
Dados

• a reta de perfil do plano ρ, com 7 de abcissa, contém a diagonal maior [AD] do hexágono;
• o vértice A, com 5 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção, e o vértice D, com 8 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;

Proposta de resolução (2020 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

AULA de HOJE - 27 de OUTUBRO de 2026 - 11ºA

 11ºA - 08:15 às 10:05

AULAS #31 e #32

SUMÁRIO: Estudo dos rebatimentos de planos oblíquos

Introdução ao estudo do rebatimento de planos de rampa

MÉTODO PARA REBATER PONTOS EM PLANOS NÃO PROJETANTES 

( oblíquos, de rampa e passantes )

1º Definir h do plano como Eixo1 (eixo do rebatimento);

*

2º Pela projeção horizontal do ponto que queremos rebater, marcamos uma linha paralela ao eixo e uma linha perpendicular ao eixo (traço h do Plano);

*

3º Marcar a medida da cota na linha paralela ao eixo;

*

4º Onde a linha perpendicular ao eixo toca no eixo, colocar o compasso até à medida anterior de cota marcada na paralela e rodar até à linha perpendicular. É nesse lugar que estará o local do Ponto rebatido.

Exercício 01

Represente o triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.
Dados

• o triângulo está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (4; 3; 2), e um dos seus vértices é o ponto A (6; 1 ; 4)
• o triângulo está contido no plano oblíquo ω, cujo traço horizontal faz um ângulo de 55º com o eixo x (de abertura para a esquerda).

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 409 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 02

Represente o quadrado [ABCD] situado no primeiro diedro.
Dados

• o quadrado está contido num plano de rampa;
• os pontos A (1; 1; 7) e C (– 1; 4; 2) definem uma diagonal do quadrado.

Proposta de resolução (2005 / 2ª Fase / Prova 409 / Grupo II / Exercício 2)

AULA de HOJE - 22 de OUTUBRO de 2026 - 11ºA

  11ºA - 15:40 às 17:30

AULAs #25 e #26

SUMÁRIO: SEÇÕES com Plano Oblíquo

01 - EXERCÍCIO 01: Professor João

Seção com PLANO OBLÍQUO - 

CONCLUSÃO em CASA - TPC

Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua de base frontal, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados
– a base da pirâmide é um quadrado ABCD (situado num plano frontal), e tem como centro o ponto O (5; 5; 5);
– o ponto A é um dos vértices da base, tem 8,5 de abcissa e 3 de cota;
– o vértice da pirâmide é o ponto V pertencente ao Plano Frontal de Projeção, com 2 cm de abcissa e 9 cm de cota.

- Represente a figura da seção provocada na pirâmide por um Plano oblíquo Alfa que faz 70º (a.d.) em ambas as projeções com e que contém um Ponto R da linha X com 8 cm de abcissa.

VÍDEO - exemplo de uma seção efetuada por um Plano Oblíquo numa pirâmide quadrangular regular.

PRIMEIROS EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DESTE BLOGUE GERADOS EXCLUSIVAMENTE POR AI - SEÇÕES

Geometria Descritiva A – 11.º ano – Secções (2 exercícios)

22/10/2026 · @João Santos

Exercício 1 – Figura da secção

Item 1: Determine a figura da secção produzida por um plano de topo numa pirâmide quadrangular regular, em projeções e em verdadeira grandeza, sabendo que:

• A base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no Plano Horizontal de Projeção (PHP), com os vértices A(0; 2; 0), B(6; 2; 0), C(6; 8; 0) e D(0; 8; 0).
• O vértice V da pirâmide tem coordenadas (3; 5; 6), pertencendo à reta perpendicular ao PHP que passa pelo centro da base.
• O plano α é um plano de topo, definido pelos pontos M(−2; 1; 0) e N(7; 4; 6), e secciona a pirâmide.

Resolva por esta ordem:

1. Represente a pirâmide completa, em projeções, e o plano α, pelos seus traços. (20 pontos)
2. Determine as projeções da figura da secção produzida pelo plano α na pirâmide, designando cada vértice da secção pelo número da aresta lateral a que pertence: 1 em [VA], 2 em [VB], 3 em [VC] e 4 em [VD]. (30 pontos)
3. Determine a verdadeira grandeza (VG) da figura da secção, e sombreie-a a lápis. (40 pontos)
4. Indique, por extenso, o nome do polígono que constitui a figura da secção. (10 pontos)

Total: 100 pontos

Exercício 2 – Sólido resultante da secção

Item 2: Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo num prisma hexagonal regular reto, sabendo que:

• O prisma tem bases [ABCDEF] e [GHIJKL] e arestas laterais [AG], [BH], [CI], [DJ], [EK] e [FL], perpendiculares ao Plano Horizontal de Projeção (PHP) e com 7 cm de comprimento.
• A base [ABCDEF] é um hexágono regular de 3 cm de lado, contido no PHP e com centro O′(5; 5; 0).
• Os vértices A(8; 5; 0) e D(2; 5; 0) são vértices opostos do hexágono; os vértices B e C têm afastamento superior ao de A, e a sequência A, B, C, D, E, F percorre o hexágono num único sentido.
• O plano δ é um plano de topo, definido pelos pontos M(9; 4; 2) e N(1; 6; 6), e secciona o prisma.
• Do prisma retira-se a parte que contém a base [GHIJKL]; o sólido resultante é o que contém a base [ABCDEF].

Resolva por esta ordem:

1. Represente o prisma completo, em projeções, e o plano δ, pelos seus traços; construa o hexágono com régua e compasso, sem usar valores aproximados. (20 pontos)
2. Determine as projeções da figura da secção produzida pelo plano δ no prisma, designando cada vértice da secção por A1, B1, C1, D1, E1 e F1, sendo cada um o ponto da aresta lateral que nasce no vértice com a mesma letra. (30 pontos)
3. Represente, em projeções, o sólido resultante da secção, com as arestas cortadas a terminarem nos vértices da secção e aplicando as convenções de visibilidade. O prisma retirado não é representado. (40 pontos)
4. Indique o número de faces, de arestas e de vértices do sólido resultante. (10 pontos)

Total: 100 pontos

Elementos de correção (só para o professor)

Em ambos os exercícios o plano de topo tem o traço frontal fα a passar pelas projeções frontais dos dois pontos dados e o traço horizontal hα perpendicular ao eixo x, no ponto onde fα o corta.

Exercício 1. fα corta o eixo x no ponto de abcissa −2, pelo que hα é perpendicular a x nesse ponto. O plano corta as quatro arestas laterais e não toca na base, pelo que a secção é um quadrilátero.

Ponto	Aresta	Coordenadas (abcissa; afastamento; cota)
1	[VA]	(1; 3; 2)
2	[VB]	(4; 4; 4)
3	[VC]	(4; 6; 4)
4	[VD]	(1; 7; 2)

A figura é um trapézio isósceles com bases [14] = 4 cm (paralela ao eixo y) e [23] = 2 cm. A altura mede √13 ≈ 3,61 cm e os lados oblíquos √14 ≈ 3,74 cm. A área é cerca de 10,8 cm². Na mudança de diedro, o novo eixo x₁ é paralelo a fα e a figura aparece em VG no plano horizontal novo.

Exercício 2. fδ corta o eixo x no ponto de abcissa 13, pelo que hδ é perpendicular a x nesse ponto. O plano corta as seis arestas laterais e não toca nas bases, pelo que a secção é um hexágono. Os valores com duas casas decimais resultam de 3 × sen 60° ≈ 2,60.

Ponto	Aresta	Coordenadas (abcissa; afastamento; cota)
A1	[AG]	(8; 5; 2,5)
B1	[BH]	(6,5; 7,6; 3,25)
C1	[CI]	(3,5; 7,6; 4,75)
D1	[DJ]	(2; 5; 5,5)
E1	[EK]	(3,5; 2,4; 4,75)
F1	[FL]	(6,5; 2,4; 3,25)

• Projeção horizontal do sólido: o hexágono da base, com a secção por cima (visível) e os pontos das arestas laterais; não há arestas invisíveis fora do contorno.
• Projeção frontal: trapézio de vértices (8; 0), (2; 0), (2; 5,5) e (8; 2,5) em abcissa e cota. As arestas [BB1] e [CC1] são visíveis, porque pertencem às faces com maior afastamento, e [FF1] e [EE1] coincidem com elas mas são invisíveis.
• Pedido final: 8 faces (6 laterais, a base e a secção), 18 arestas e 12 vértices.

AULA de HOJE - 20 de OUTUBRO de 2026 - 11ºA

 11ºA - 08:15 às 10:05

AULAS #25 e #26

SUMÁRIO: TESTE de AVALIAÇÃO

Item 1:
Determine o ponto I de interseção de uma reta oblíqua s com um plano oblíquo,
sabendo que:
·          A reta oblíqua s é perpendicular ao plano oblíquo;
·          O plano oblíquo está definido pelo ponto P( 3; 0; 0 ) e por uma reta frontal f que faz 50º (a.d.) com o P.H.P
·          O traço horizontal da reta f é o ponto H ( -2; 3: 0 ).
·          A reta oblíqua s contém o ponto S ( 4; -6; 4).
                                                                                                            ( 60 pontos )

Item 2:
·          Represente pelas suas projeções, o sólido resultante da seção produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base contida num plano frontal, situada no primeiro diedro.
Dados:
·          O ponto A (5; 8; 3) e o ponto B (– 1; 8; 1) são dois vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;
·   O vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A e tem 0 de afastamento;
·        O plano θ contém um ponto do eixo x com – 4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, com esse eixo.
·          Considere a parte do sólido compreendida entre o Plano vertical e o Plano Frontal de projeção.    
                                                                                                                      (70 pontos)

Item 3:
Determine as projeções de um cone oblíquo de base horizontal, sabendo que:
·          O ponto O (4; 6; 8) é o centro da base, que mede 4 cm de raio.
·          O vértice V (6; 6; 0) é o ponto de menor cota do cone;
·          Determine a seção provocada no cone por um plano frontal α com 8 cm de afastamento.
                                                                                                                      (70 pontos)

RESOLUÇÃO DO TESTE

AULAs #21 e #22

 11ºA - 15:40 às 17:30

AULAs #21 e #22

SUMÁRIO: Revisões de SEÇÕES e revisão de interseções

ITEM 01

Desenhe as projeções da reta i de interseção de dois planos oblíquos α e θ,

sabendo que:

· O plano oblíquo α está definido poe uma reta de maior inclinação i que contém

o ponto A (4; 7; 4), e o ponto I do β2_/4 com -3 cm de abcissa e 7 cm de cota;

· O plano θ contém o ponto P ( 0; -4; 1 ), o seu traço frontal é perpendicular ao traço horizontal do plano α encontrando a Linha X num ponto com -6 cm de abcissa.

( 60 pontos )

ITEM 02

Determine as projeções de um prisma hexagonal oblíquo situado no Iº diedro sabendo que:

· A base é horizontal, e o ponto O ( 0; 7; 10 ) é o centro do hexágono [ABCDEF] que está inscrito numa circunferência com 6cm de raio;

· O vértice A da base é o ponto de menor abcissa e tem o mesmo afastamento do centro O;

· O ponto O´, centro da outra base, pertence ao Plano Horizontal de Projeção, tem -4,5cm de abcissa e 6cm de afastamento;

- Determine. ainda, a seção provocada no prisma por um plano de Topo que faz 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção e encontra a Linha X num ponto de abcissa 5 cm.

ITEM 03

Determine as projeções de um cone oblíquo situado no Iº diedro sabendo que:

· A base é frontal, e o ponto O ( 0; 7; 5 ) é o centro da base que está inscrita numa circunferência com 4cm de raio;

· O vértice V, pertence ao eixo X e tem 4,5cm de abcissa

- Determine. ainda, a seção provocada no prisma por um plano  Vertical que faz 45º (a.e.) com o Plano frontal de Projeção e encontra a Linha X num ponto de abcissa -6 cm.

( 70 pontos )

ITEM 01 b)

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta h com o plano de rampa δ.
Dados:

• o plano δ contém o ponto A (0; 2; 9) e define um diedro de 60º com o Plano Horizontal de Projeção;
• o traço horizontal do plano tem afastamento negativo;
• a reta h é horizontal e contém o ponto M, do plano bissector dos diedros pares, β24, com zero de abcissa e 5 de afastamento;
• a reta h define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

Proposta de resolução (2025 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

AULA de HOJE - 13 de OUTUBRO de 2026 - 11ºA

11ºA - 08:15 às 10:05

AULAs #19 e #20

SUMÁRIO: Estudo de SEÇÕES e revisão de interseções

EXERCÍCIO DE INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO;

01 - EXERCÍCIO PROFESSOR JOÃO

- Determine o ponto I de interseção entre uma reta s e um Plano oblíquo Alfa

sabendo que:

- A reta s é passante, contém o ponto T ( 0 ; -4; 7 ) e existe num Plano

de Perfil PI com abcissa nula;

- O Plano Alfa é definido por uma reta de maior inclinação i paralela

ao Beta 1.3. e que contém o Ponto J ( 4; 5; 6 );

- A projeção horizontal da reta i faz 35º (a.e.) com o eixo X.

02 - EXERCÍCIO TIPO TESTE de 2a Feira
Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo β num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais. Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pela secção, que contém a base situada mais à esquerda.
– as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
– o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
– as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50° (a.d.), com o P.F.P;
– os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;
– o plano β contém o ponto de abcissa – 3 do eixo x e faz um ângulo de 55° (a.e.), com o P.H.P.

AULA de HOJE - 12 de OUTUBRO de 2026 - 11ºA

11ºA - 08:15 às 10:05

AULAs #17 e #18

SUMÁRIO: Estudo de SEÇÕES

EXERCÍCIO DE INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO;

EXERCÍCIO :
Determine o ponto I de interseção entre a reta horizontal n

e o plano oblíquo ρ sabendo que:
- O plano oblíquo ρ contém os pontos
A ( 7; -4; -7 ), B ( 1; -2; 2 ), e C ( 0; 0; 0).
- A reta horizontal n contém o ponto
N ( 7; 4; 8 ) e faz 55º (a.e.) com o P.F.P..

  A) EXERCÍCIO Professor João: Interseções

Determine as projeções de uma reta i de interseção entre um

plano de rampa Alfa e o Beta 2.4, sabendo que:

Dados:

- O Ponto A ( -1; 2; 3) pertence a uma reta oblíqua s cujas

projeções frontal e horizontal fazem 30ª (a.d) e 60º (a.d.), respetivamente;

- O plano Alfa é paralelo à reta s e o seu traço frontal tem -5 cm de cota.

Exercício B)
Determine as projeções do ponto I resultante
da intersecção da reta fronto-horizontal g com o plano α.
Dados

• a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β13,bissetor dos diedros ímpares;

• o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 cm de abcissa e pela reta frontal f;

• a reta f contém o ponto P (0; 4; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2014 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

SECÇÕES DE SÓLIDOS Exercício C)

EXAME - 2014 - 2ª Fase (código 708)
Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical d (delta) num cone regular de base situada num plano frontal.

Destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano frontal de projeção.

Dados:
- o Ponto O (0; 9; 5) é o centro da base

- A base tem 4cm de raio
- o vértice V do sólido pertence ao plano frontal de projeção
- o plano vertical d (delta) contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de 55º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projeção.