adaptado de EXAME 2018 - 3. Determine as projeções de um cilindro oblíquo, de bases circulares contidas em planos horizontais, situado no 1.º diedro;
Dados:
− o ponto O (2; 3; 0) é o centro da circunferência, com 3 cm de raio, da base de menor cota;
− o eixo do cilindro é paralelo ao β1.3., e a sua projeção horizontal define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo X;
−− a altura do cilindro é 6 cm;

 

Interseções -  Represente, pelas suas projeções, a reta i de interseção entre um Plano α e o Beta 2.4.,

sabendo que:

- O plano oblíquo α é perpendicular ao Beta 1.3. e contém o ponto P (-5; 5; 3),

A projeção frontal do Plano α faz 35º (a.e.) com o eixo X;

Interseções -

Determine as projeções da reta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.
Dados

• o plano δ está definido por uma reta de maior declive, d;
• a reta d contém o ponto P (–2; 3; 4);
• as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respetivamente;
• os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

Proposta de resolução (2011 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

 EXERCÍCIO PRIMEIRO Da aula de 27 de abril de 2026

01. Determine as projeções da reta d, contida no plano oblíquo α, e o seu ponto de interseção com um plano de rampa Teta perpendicular ao plano oblíquo α.

Dados:
– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
– a reta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e a sua projeção horizontal faz 90º com a projeção frontal do plano α.

- O Plano de Rampa Teta contém o Ponto A ( 3; 3; 6)

 EXERCÍCIO segundo da aula de 27 de abril de 2026

Determine a figura da seção feita por um plano de topo Teta numa pirâmide triangular oblíqua, sabendo que:

- A pirâmide oblíqua está assente num plano horizontal;

- A base é um triângulo equilátero [ABC] cujo centro é o

ponto O ( 0; 6; 1);

- O ponto A da base tem a mesma abcissa do ponto O e 1 cm de afastamento;

- O vértice do sólido é o ponto V ( 5; 5; 7);

- A projeção frontal do plano de topo Teta faz 45º ( a.d.) e contém o ponto P da linha X com abcissa igual a 4 cm.

 EXERCÍCIO QUARTO da aula de 27 de abril de 2026

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

• dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal:

• as bases do prisma pertencem a planos horizontais;
• o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das bases do prisma;
• a outra base está situada no plano coordenado xy.

Prisma triangular:

• as bases do prisma pertencem a planos frontais;
• o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
• a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.

Proposta de resolução (2013 / 1.ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

 

EXERCÍCIO PRIMEIRO Da aula de 27 de abril de 2026

01. Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa,
definido por um ponto A (4; 2; 8) e por uma recta de perfil p, que contém
os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).

- Determine os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa,

de modo a conter o ponto W (0; 0; 4)

- Interseta esse plano com o Beta 1.3;

(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)

EXERCÍCIO SEGUNDO Da aula de 27 de abril de 2026

02. Represente as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta oblíqua passante s e um plano oblíquo α, sabendo que;
- O Ponto S ( 0; 6; -3 ) pertence à reta s que faz 45º (a.e.) na sua projeção horizontal;
- O plano oblíquo α contém o Ponto P do eixo X com 4 cm de abcissa e o seu traço frontal é paralelo à projeção horizontal da reta s;
- O plano oblíquo α é perpendicular ao Beta 1.3.. 

EXERCÍCIO TERCEIRO Da aula de 27 de abril de 2026

03. Determine as projeções da reta d, contida no plano oblíquo α, e o seu ponto de interseção com um plano de rampa Teta perpendicular ao plano oblíquo α.

Dados:
– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
– a reta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e a sua projeção horizontal faz 90º com a projeção frontal do plano α.

- O Plano de Rampa Teta contém o Ponto A ( 3; -5; 6)

AULA de HOJE - 23 de ABRIL - 10ºA - #131 e #132

10ºA - 11:20 às 13:10

Sumário: iNTRODUÇÃO AO ESTUDO DE pERPENDICULARIDADES

ITEM Sólidos: - Verdadeira grandeza de figura da base
Determine as projeções de um prisma quadrangular regular regular com 5 cm de altura cuja base é um quadrado do primeiro diedro contido num plano vertical α.
Dados:
– os quadrados das bases medem 6,5 cm de lado;
– o ponto A (3,5; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção e tem abcissa nula;

AULA de HOJE - 23 de ABRIL - 11ºA

11ºA - 08.15 às 10.05

Sumário: Exercícios Tipo de Exame

Interseção entre dois planos perpendiculares

EXERCÍCIO #01: 

Dados: Determina as projeções de um Plano oblíquo Ómega que seja Perpendicular ao Plano de Rampa Alfa;
- Os traços horizontal e frontal do Plano de rampa Alfa têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.
- O Plano Oblíquo contém o Ponto P (5; 3; 4) e o seu traço horizontal faz 40º (a.d.) abertura à direita, com o eixo X.
- Determine a reta i comum aos dois planos.

ITEM 02: - Verdadeira grandeza de figura
Determine as projeções de um prisma triangular regular com 5 cm de altura cuja base é um triângulo do primeiro diedro contido num plano α.
Dados:
– o triângulo é equilátero e tem 7 cm de lado;
– o ponto A (0; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção;
– o traço horizontal do plano α faz com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a direita e a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos traços do plano α é de 75º.

ITEM 03: -Seção de Plano Oblíquo em Sólido

Represente, pelas suas projeções, a figura de secção produzida por um plano oblíquo δ numa pirâmide oblíqua de base quadrada [ABCD] contida num plano horizontal.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e da figura de secção.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e da figura de secção.
Dados:

• o vértice V tem zero de abcissa e pertence ao eixo x;

• a aresta [AV] é vertical e mede 9 cm;

• a reta que contém a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

• o vértice B tem −4 de abcissa;

• o plano δ contém o ponto P do eixo x, com −8 de abcissa, e o ponto I (−7; −9; 9);

• o traço horizontal do plano δ define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo X.

AULA de HOJE - 21 de ABRIL - 10ºA - #129 e #130

 10ºA - 15:40 às 17:30

Sumário: ESTUDO DE pERPENDICULARIDADES

Perpendicularidade entre planos

EXERCÍCIO #01: 

Dados: Determina as projeções de um Plano oblíquo Ómega que seja Perpendicular ao Plano de Rampa Alfa;

- Os traços horizontal e frontal do Plano de rampa Alfa têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.

- O Plano Oblíquo contém o Ponto P (5; 3; 4) e o seu traço horizontal faz 40º (a.d.) abertura à direita, com o eixo X.

EXERCÍCIO #02:

Determine um plano Niú perpendicular a um Plano Passante Ómega,  sabendo que:

- O Plano Passante Ómega contém o ponto A(-3;6;4);

- O plano Niú contém o ponto N (2; 3; -5) e o seu traço horizontal faz 35º (a.e.) abertura à esquerda com o eixo X.;

 EXERCÍCIO 01 Verdadeira grandeza de um triãngulo:

Desenhe as projeções de um triângulo ABC sabendo que:

- O ponto A ( 7; 2 ) é um dos vértices da figura;

- O lado AB é horizontal (de nível) e faz 60º (a.e.) com o Plano Fontal de Projeção, e mede 7 cm;

- O afastamento do ponto B é inferior ao do ponto A;

- O lado BC do triângulo é frontal (de frente), faz 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projeção e mede 6 cm. 

 Exame de 2006 - 2ª Fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006): Reta perpendicular a um Plano dado.

Represente, pelas suas projecções, a reta p, perpendicular ao plano alfa, e o seu Ponto I de interseção com esse mesmo plano; sabendo que:.
Dados:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a reta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

AULA de HOJE - 20 de ABRIL - 10ºA - #127 e #128

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: iNTRODUÇÃO AO ESTUDO DE pERPENDICULARIDADES

Exame de 2006 - 2ª Fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006): Reta perpendicular a um Plano dado.
Represente, pelas suas projecções, a reta p, perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a reta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

Exame de 2007 - 2ª fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006): Plano perpendicular a um Plano dado.
Determine os traços do plano beta, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano alfa contém o ponto A (3; 6; 4) e uma reta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal F tem 6cm de abcissa.
- o plano beta contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

EXERCÍCIO - Perpendicularidade entre um plano e uma reta

- Determine um plano Lambda perpendicular a uma reta r  sabendo que:
- A reta  r contém o ponto A(-3;6;4), fazendo as suas projeções
frontal e horizontal 35º (a.d.) e 50º (a.d.) respetivamente;
- O plano Lambda contém o ponto L (2; 3; -4);

AULA de HOJE - 16 de ABRIL - 10ºA

  10ºA - 11.20 às 13.10

SUMÁRIO: PARALELISMOS e PERPENDICULARIDADES

EXERCÍCIO PRIMEIRO

- Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa, definido por um ponto A (4; 2; 8)

e por uma reta de perfil p, que contém os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).

- Determine ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto W (0; 0; 4)

(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)

EXERCÍCIO prof. João 02 - Paralelismo entre um plano e uma reta

Determine as projeções de uma reta r, sabendo que:

- O traço horizontal da reta r tem abcissa nula e 6 cm de afastamento.

- O traço frontal da reta r tem 7 cm de abcissa e -3 cm de cota.

- Desenha um plano θ paralelo à reta r que contenha P (-4; 4; 4).

- O Plano θ é um plano de rampa.

EXERCÍCIO prof. João 03 - Paralelismo entre um plano e

uma reta

Determine uma reta u paralela a um plano oblíquo α sabendo que:

• - O plano oblíquo α contém o ponto P (0; 4; 0) e os seus traços horizontal e frontal fazem ângulos de 30º (a.e.) com o eixo X.

• A reta u contém o ponto A (0; 6; 6) e faz 55º (a.e.) na sua projeção horizontal, com o eixo X.

• EX. 04 - SÓLIDO - um cubo

  Determine as projeções de um cubo com 6 cm de altura sabendo que;
  - O lado ABCD existe num plano de topo que faz 30º (a.e) com o P.H.P.;
  - O vértice A (0;3,6) e o vértice B com abcissa positiva, existe no Plano Frontal de Projeção. 

AULA de HOJE - 14 de ABRIL - 10ºA

 10ºA - 15.40 às 17.30

SUMÁRIO: PARALELISMOS 

Paralelismo nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva e Ficha de Trabalho

O Paralelismo apareceu apenas uma única vez nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva, no exercício seguinte:
#01. Exame de 2008, 2ª fase (GD-A, em vigor a partir de 2006)
Determine as projeções da reta b paralela ao plano α e ao plano bissetor dos diedros pares (β2,4).
– o plano α é definido pelas retas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
– o ponto H, traço horizontal da reta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
– a reta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– a reta b contém o ponto B (–5; 3; 2).

#02  Item: PARALELISMOS
Determine as projeções de uma reta oblíqua s, sabendo que:
 A reta oblíqua s existe no β 2.4. e é paralela a um plano oblíquo 𝜹.
 O plano oblíquo 𝜹 está definido pelo ponto P( 3; 0; 0 ) e por uma reta frontal f que faz 50º (a.d.) com o P.H.P..

 O traço horizontal da reta f é o ponto H ( -2; 3: 0 ).
 A reta oblíqua s contém o ponto S com -2 cm de abcissa e -4 cm de afastamento.

AULA de HOJE - 14 de ABRIL - 11ºA

11ºA - 10.15 às 12.10

Sumário: Perspetivas Axonométricas: PERSPETIVA TRIMÉTRICA.

Interseções

 5º Item peça criada pelo aluno João Simões do 11ºB de 2023/2024

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides regulares iguais de bases pentagonais, e por um prisma quadrangular regular. 

Dados
 Sistema axonométrico:
− trimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 105º com as projeções axonométricas do eixo y e 115º com o eixo z. 

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda. 

Prisma:
− o prisma tem as suas bases paralelas ao eixo coordenado zy, tem 3 cm de altura;
− o vértice A (7; 8; 0) e o vértice B (7; 8; 7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento de uma das suas bases;

 Pirâmides
 − as pirâmides possuem o centro das suas bases no centro das bases do prisma quadrangular;

 − os pentágonos das bases encontram-se inscritos numa circunferência que está inscrita no quadrado das bases;

 − o lado de menor cota dos pentágonos das bases é perpendicular ao plano coordenado xz:

 − o vértice V da pirâmide com base de menor abcissa encontra-se no plano coordenado zy;

Adaptado de EXAME 2023 - 2a fase

Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta r e à superfície de um cilindro oblíquo de bases contidas em planos frontais.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da reta e do sólido.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e das projeções da reta.
Dados

• o Ponto A da base, com zero de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;

• o Raio das bases medes 4 cm e o centro O da base de maior afastamento tem - 3 cm de abcissa 

• o prisma tem 6 cm de altura;

• as arestas laterais são horizontais e definem ângulos de abertura para a direita com o Plano Frontal de Projeção

• a reta r é oblíqua, definida pelo ponto P (–6; 6; 9) e pelo seu traço horizontal com 3 de abcissa e 4 de afastamento.

03 - EXERCÍCIO 03: Professor João

- Determine a figura da seção feita por um plano de topo Delta em um prisma hexagonal oblíquo sabendo que:

- As base do prima são de perfil e medem 3 cm de lado;
- O Ponto O ( 6; 4; 5 ) é o centro da base de maior abcissa do prisma, que possui dois lados verticais;
- A outra base possui um vértice com cota nula;
- O prisma tem 6 cm de altura e o eixo é frontal.

- A projeção frontal do plano de topo Delta faz 35º ( a.d.) e contém o ponto R da linha X com abcissa igual a 10 cm.