04 - EXERCÍCIO Professor João: SÓLIDO

- Determine as projeções de um prisma pentagonal regular

sabendo que:
- A base ABCDE de menor abcissa é de perfil;

- O Ponto O é o centro dessa base, tem 5 cm de cota e

existe no Beta 1.3.;

- O lado CD da base é paralelo ao Plano Horizontal

de Projeção e tem 1,5 cm de cota;
- O prisma tem 7 cm de altura.

 EXERCÍCIOS PROFESSOR JOÃO - EXAME 2026

 01 - EXERCÍCIO Professor João: Interseções

Determine as projeções de uma reta i de interseção entre

um plano de rampa Alfa e o Beta 2.4, sabendo que:

Dados:

- O Ponto A ( -1; 2; 3) pertence a uma reta oblíqua s

cujas projeções frontal e horizontal fazem 30ª (a.d)

e 45º (a.d.), respetivamente;

- O plano Alfa é paralelo à reta s e o seu traço frontal

tem -5 cm de cota.

02 - EXERCÍCIO Professor João: V.G. de Figuras
- Determine as projeções de um Triângulo Retângulo ABC

existente num Plano Oblíquo Alfa, sabendo que:
- O ponto A ( -4 ; 4; 7 ) e B (0, 0, 0) são vértices

consecutivos do menor lado do triângulo;
- O Plano Alfa faz 50º abertura para a direita na suaprojeção Frontal;
- O lado AC do triângulo mede 10 cm;

03 - EXERCÍCIO Professor João: SOMBRA de Sólido

- Determine as projeções de um prisma pentagonal regular

sabendo que:
- A base ABCDE de menor abcissa é de perfil;

- O Ponto O é o centro dessa base, tem 5 cm de cota e

existe no Beta 1.3.;

- O lado CD da base é paralelo ao Plano Horizontal

de Projeção e tem 1,5 cm de cota;
- O prisma tem 7 cm de altura.

REALIZE A SOMBRA PRÓPRIA e PROJETADA deste Prisma utilizando o Foco de Luz Convencional.

EXERCÍCIO 04: Professor João- SEÇÃO

Determine as projeções de um cilindro oblíquo

de 6,5 cm de altura, sabendo que:

Dados:
– o ponto O com 6 cm de afastamento é centro

da base de menor cota do cilindro, e pertence ao P.H.P,;

– o eixo do sólido é frontal e faz 60º (a.e);

– as bases têm 4 cm de raio.

Determine o sólido resultante da seção feita

por um plano de topo ALFA que faz 25º (a.e.)

e que contém o Ponto MÉDIO do Eixo do sólido;

- A parte resultante está compreendida entre

o Plano de Topo Alfa e o P.H.P.

AULA de HOJE - 18 de MAIO - 11ºA

 11ºA - 08:15 às 10:0

SUMÁRIO: Exercícios de EXAME NACIONAL

EXERCÍCIO Tipo 1 de EXAME NACIONAL - INTERSEÇÕES
Determine as projeções do ponto I de interseção entre uma reta r e

um plano Alfa sabendo que:
- A reta r é oblíqua passante e interseta o eixo X no ponto

com -5,5 cm de abcissa;
- A projeção horizontal da reta r faz 40º (a.e.) e a sua

projeção frontal faz 50º (a.e.);
- O plano Alfa é de rampa, e os seus traços horizontal e frontal

têm 4 cm de afastamento e 6 cm de cota, respetivamente.

EXERCÍCIOS PROFESSOR JOÃO - AXONOMETRIAS Tipo 5

Represente, em representação axonométrica oblíqua (clinogonal), uma PERSPETIVA MILITAR de uma forma tridimensional

composta por dois prismas regulares e uma pirâmide regular.
Dados Sistema axonométrico
- a projecção do eixo z forma um ângulo de 130º com a projecção

do eixo x e um ângulo de 140º com a projecção do eixo y;
- a inclinação das rectas projectantes em relação ao plano

axonométrico é de 50º;
Prisma 1: PRISMA TRIANGULAR REGULAR
- as suas bases são paralelas ao eixo coordenado yz;
- os pontos A (8; 8, 2) e B (8; 3; 5) pertencem à base

de maior abcissa desse prisma:

- o Prisma tem 6 cm de altura.

Prisma 2: PRISMA QUADRANGULAR REGULAR
- as suas bases são paralelas ao eixo coordenado yz;

- Os pontos B e C são um dos lados do quadrado com

maior abcissa do prisma;

- o Prisma mede 2 cm de altura;
Pirãmide quadrangular regular:
- A base da pirâmide é o quadrado da base de menor abcissa do prisma 2;

- O vértice V da pirãmide pertence ao eixo coordenado zy.

EXERCÍCIO Tipo 02:- Verdadeira grandeza de figura
EXERCÍCIO PROFESSOR JOÃO :
- Determine as projeções de um quadrado ABCD existente num

plano de rampa PI sabendo que:
O traço frontal do plano PI tem 6 cm de cota;
 - A Abcissa e o Afastamento do vértice A são iguais a zero;
- A diagonal AC mede 8 cm;
- O vértice C tem 3 cm de abcissa e pertence ao Plano Horizontal de Projeção.

AULA de HOJE - 18 de MAIO - 10ºA

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios Globais do Livro de Exercícios

EEXERCÍCIOS

Tipo 03 - Sólidos #02
Determine as projeções de um prisma PENTAGONAL

oblíquo no Iº diedro, sabendo que:
- A base de menor abcissa do prisma está contida num

plano de topo ALFA que faz 50º (a.d.) com o P.H.P;
- O ponto O (0; 7; 4) é o centro da circunferência

que circunscreve o pentágono da base, com 3 cm de raio;
- A aresta AB da base é de topo e esses são os pontos

de menor cota dessa base;
- O eixo do prisma é fronto-horizontal e mede 10 cm.

Exercício TIPO #02 - Interseção de reta com Plano

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta h com o plano de rampa δ.
Dados:

• o plano δ contém o ponto A (0; 2; 9) e define um diedro de 60º com o Plano Horizontal de Projeção;
• o traço horizontal do plano tem afastamento negativo;
• a reta h é horizontal e contém o ponto M, do plano bissector dos diedros pares, β24, com zero de abcissa e 5 de afastamento;
• a reta h define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

Proposta de resolução (2025 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

AULA de HOJE - 14 de MAIO - 10ºA - #143 e #144

 10ºA - 11:20 às 13:10

Sumário: Exercícios Globais do Livro de Exercícios

Tipo 01 #03  - obrigatório

 Item1: INTERSEÇÃO
Determine o ponto de intersecção I entre a reta r e
o plano oblíquo α, sabendo que:

• Os traços do plano α são coincidentes e o seu traço frontal
• faz 45º (a.d.) com o eixo X.
• O plano α intersecta o eixo X num ponto de abcissa nula;
• A reta r contém o ponto P ( 2;5;1 ) e é paralela ao β 2.4.;
• A projeção horizontal da reta r faz 45º ( a.e.) com o eixo X.
• 
  

Item 2: CILINDRO OBLÍQUO
Desenhe as projeções de um cilindro oblíquo no 1º diedro,
sabendo que:

• As bases do cilindro são círculos contidos em planos horizontais
• Uma das bases é o círculo de 3cm de raio e centro no ponto O (0;3:2).
  
• O centro da outra base é o ponto O’ do β1.3 com abcissa nula e com 7cm de afastamento;

AULA de HOJE - 14 de MAIO - 11ºA

  11ºA - 08:15 às 10:0

SUMÁRIO: Exercícios de perspetivas ortogonais dimétricas e trimétricas

EXERCÍCIO exame - 2007, 1.ª Fase (código 408)
Construa uma representação axonométrica ortogonal trimétrica de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.
Dados:
Sistema axonométrico:
– as projeções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:
XÔZ = 110° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
YÔZ = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Sólido:
– o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;
– os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respetivamente, 2 e 6,5 de afastamento;
– o ponto V tem coordenadas positivas;
– a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;
– a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

EXERCÍCIO Tipo 1 de EXAME NACIONAL - INTERSEÇÕES
Determine as projeções do ponto I de interseção entre uma reta r e um plano Alfa sabendo que:
- A reta r é oblíqua passante e interseta o eixo X no ponto com -5,5 cm de abcissa;
- A projeção horizontal da reta r faz 40º (a.e.) e a sua projeção frontal faz 50º (a.e.);
- O plano Alfa é de rampa, e os seus traços horizontal e frontal têm 4 cm de afastamento e 6 cm de cota, respetivamente.

EXERCÍCIO Tipo 1 de EXAME NACIONAL - Reta Interseta Sólido

Determine as projeções dos pontos X e Y resultantes da interseção da reta frontal f com um cilindro oblíquo de bases horizontais. A base de menor cota é uma circunferência com 3 cm de raio e de centro O (-4; 4; 1).

As geratrizes são frontais, fazem 50º (a.e.) com o P.H.P. e medem 10 cm.

A reta f faz 50º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projeção, e o seu traço horizontal é o ponto H (3; 6; 0).

EXERCÍCIO Tipo 2 de EXAME NACIONAL - Verdadeira Grandeza de Figura

 Determine as projeções de um retângulo [ABCD] contido num plano oblíquo α.
 Dados
 − a diagonal [AC] mede 9 cm e pertence a uma reta do plano bissector dos diedros ímpares, β13, que interseta o eixo x num ponto com −3 de abcissa;
− o vértice A tem 1 de abcissa e 3 de cota;
− o traço frontal do plano define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
− o lado [AB] é frontal

 

 

 

AULA de HOJE - 21 de ABRIL - 10ºA - #139 e #140

 10ºA - 15:40 às 17:30

Sumário: ESTUDO DE CÍrculos em Planos de Topo e/ou Verticais

CÍRCULO EM; PLANO VERTICAL - Método do rebatimento

EXERCÍCIO círculo em plano vertical:

Determine as projeções de um círculo existente num plano vertical Teta sabendo que;

- O ponto O ( 0; 5; 3 ) é o centro do círculo que é tangente ao Plano Horizontal de Projeção;
- O plano vertical faz 60º (a.e.) com o eixo X.

FIGURA PLANA PERTENCENTE AO PLANO DE TOPO

1. 1997 Prova Modelo - adaptado - CÍRCULO
Determina as projecções de um círculo, contido num plano de topo alfa.
Dados:
- O plano alfa faz um diedro de 45º com o Plano Horizontal de Projecção, com abertura para o lado direito;
- Uma das diagonais [AC] do círculo está contida no Bissector dos Diedros ímpares;
- O Ponto A tem 2 de cota e o Ponto C tem 6 de afastamento.

EXERCÍCIO DE INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO;
EXERCÍCIO :
Determine o ponto I de interseção entre a reta horizontal n e o plano oblíquo ρ sabendo que:
- O plano oblíquo ρ contém os pontos
A ( 7; -4; -7 ), B ( 1; -2; 2 ), e C ( 0; 0; 0).
- A reta horizontal n contém o ponto
N ( 7; 4; 8 ) e faz 55º (a.e.) com o P.F.P..

 

adaptado de EXAME 2018 - 3. Determine as projeções de um cilindro oblíquo, de bases circulares contidas em planos horizontais, situado no 1.º diedro;
Dados:
− o ponto O (2; 3; 0) é o centro da circunferência, com 3 cm de raio, da base de menor cota;
− o eixo do cilindro é paralelo ao β1.3., e a sua projeção horizontal define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo X;
−− a altura do cilindro é 6 cm;

 

Interseções -  Represente, pelas suas projeções, a reta i de interseção entre um Plano α e o Beta 2.4.,

sabendo que:

- O plano oblíquo α é perpendicular ao Beta 1.3. e contém o ponto P (-5; 5; 3),

A projeção frontal do Plano α faz 35º (a.e.) com o eixo X;

Interseções -

Determine as projeções da reta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.
Dados

• o plano δ está definido por uma reta de maior declive, d;
• a reta d contém o ponto P (–2; 3; 4);
• as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respetivamente;
• os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

Proposta de resolução (2011 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

 EXERCÍCIO PRIMEIRO Da aula de 27 de abril de 2026

01. Determine as projeções da reta d, contida no plano oblíquo α, e o seu ponto de interseção com um plano de rampa Teta perpendicular ao plano oblíquo α.

Dados:
– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
– a reta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e a sua projeção horizontal faz 90º com a projeção frontal do plano α.

- O Plano de Rampa Teta contém o Ponto A ( 3; 3; 6)

 EXERCÍCIO segundo da aula de 27 de abril de 2026

Determine a figura da seção feita por um plano de topo Teta numa pirâmide triangular oblíqua, sabendo que:

- A pirâmide oblíqua está assente num plano horizontal;

- A base é um triângulo equilátero [ABC] cujo centro é o

ponto O ( 0; 6; 1);

- O ponto A da base tem a mesma abcissa do ponto O e 1 cm de afastamento;

- O vértice do sólido é o ponto V ( 5; 5; 7);

- A projeção frontal do plano de topo Teta faz 45º ( a.d.) e contém o ponto P da linha X com abcissa igual a 4 cm.

 EXERCÍCIO QUARTO da aula de 27 de abril de 2026

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

• dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal:

• as bases do prisma pertencem a planos horizontais;
• o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das bases do prisma;
• a outra base está situada no plano coordenado xy.

Prisma triangular:

• as bases do prisma pertencem a planos frontais;
• o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
• a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.

Proposta de resolução (2013 / 1.ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

 

EXERCÍCIO PRIMEIRO Da aula de 27 de abril de 2026

01. Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa,
definido por um ponto A (4; 2; 8) e por uma recta de perfil p, que contém
os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).

- Determine os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa,

de modo a conter o ponto W (0; 0; 4)

- Interseta esse plano com o Beta 1.3;

(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)

EXERCÍCIO SEGUNDO Da aula de 27 de abril de 2026

02. Represente as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta oblíqua passante s e um plano oblíquo α, sabendo que;
- O Ponto S ( 0; 6; -3 ) pertence à reta s que faz 45º (a.e.) na sua projeção horizontal;
- O plano oblíquo α contém o Ponto P do eixo X com 4 cm de abcissa e o seu traço frontal é paralelo à projeção horizontal da reta s;
- O plano oblíquo α é perpendicular ao Beta 1.3.. 

EXERCÍCIO TERCEIRO Da aula de 27 de abril de 2026

03. Determine as projeções da reta d, contida no plano oblíquo α, e o seu ponto de interseção com um plano de rampa Teta perpendicular ao plano oblíquo α.

Dados:
– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
– a reta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e a sua projeção horizontal faz 90º com a projeção frontal do plano α.

- O Plano de Rampa Teta contém o Ponto A ( 3; -5; 6)

AULA de HOJE - 23 de ABRIL - 10ºA - #131 e #132

10ºA - 11:20 às 13:10

Sumário: iNTRODUÇÃO AO ESTUDO DE pERPENDICULARIDADES

ITEM Sólidos: - Verdadeira grandeza de figura da base
Determine as projeções de um prisma quadrangular regular regular com 5 cm de altura cuja base é um quadrado do primeiro diedro contido num plano vertical α.
Dados:
– os quadrados das bases medem 6,5 cm de lado;
– o ponto A (3,5; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção e tem abcissa nula;

AULA de HOJE - 23 de ABRIL - 11ºA

11ºA - 08.15 às 10.05

Sumário: Exercícios Tipo de Exame

Interseção entre dois planos perpendiculares

EXERCÍCIO #01: 

Dados: Determina as projeções de um Plano oblíquo Ómega que seja Perpendicular ao Plano de Rampa Alfa;
- Os traços horizontal e frontal do Plano de rampa Alfa têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.
- O Plano Oblíquo contém o Ponto P (5; 3; 4) e o seu traço horizontal faz 40º (a.d.) abertura à direita, com o eixo X.
- Determine a reta i comum aos dois planos.

ITEM 02: - Verdadeira grandeza de figura
Determine as projeções de um prisma triangular regular com 5 cm de altura cuja base é um triângulo do primeiro diedro contido num plano α.
Dados:
– o triângulo é equilátero e tem 7 cm de lado;
– o ponto A (0; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção;
– o traço horizontal do plano α faz com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a direita e a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos traços do plano α é de 75º.

ITEM 03: -Seção de Plano Oblíquo em Sólido

Represente, pelas suas projeções, a figura de secção produzida por um plano oblíquo δ numa pirâmide oblíqua de base quadrada [ABCD] contida num plano horizontal.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e da figura de secção.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e da figura de secção.
Dados:

• o vértice V tem zero de abcissa e pertence ao eixo x;

• a aresta [AV] é vertical e mede 9 cm;

• a reta que contém a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

• o vértice B tem −4 de abcissa;

• o plano δ contém o ponto P do eixo x, com −8 de abcissa, e o ponto I (−7; −9; 9);

• o traço horizontal do plano δ define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo X.

AULA de HOJE - 21 de ABRIL - 10ºA - #129 e #130

 10ºA - 15:40 às 17:30

Sumário: ESTUDO DE pERPENDICULARIDADES

Perpendicularidade entre planos

EXERCÍCIO #01: 

Dados: Determina as projeções de um Plano oblíquo Ómega que seja Perpendicular ao Plano de Rampa Alfa;

- Os traços horizontal e frontal do Plano de rampa Alfa têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.

- O Plano Oblíquo contém o Ponto P (5; 3; 4) e o seu traço horizontal faz 40º (a.d.) abertura à direita, com o eixo X.

EXERCÍCIO #02:

Determine um plano Niú perpendicular a um Plano Passante Ómega,  sabendo que:

- O Plano Passante Ómega contém o ponto A(-3;6;4);

- O plano Niú contém o ponto N (2; 3; -5) e o seu traço horizontal faz 35º (a.e.) abertura à esquerda com o eixo X.;