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IMPORTANTE:
Ter em consideração que as ABCISSAS NEGATIVAS MARCAM-SE
para a direita do ponto de abcissa nula e não para a esquerda,
como aqui se menciona.
As projecções horizontais devem ser marcadas com 1 e não '
As projecções frontais devem ser marcadas com 2 e não "
IMPORTANTE:
Ter em consideração que as ABCISSAS NEGATIVAS MARCAM-SE
para a direita do ponto de abcissa nula e não para a esquerda,
como aqui se menciona.
As projecções horizontais devem ser marcadas com 1 e não '
As projecções frontais devem ser marcadas com 2 e não "
Planos de projecção
O sistema de representação diédrica usado, também se chama: dupla projecção ortogonal ou sistema de Monge, em homenagem a este, embora já fosse conhecido anteriormente.
Empregam-se 2 planos ortogonais de projecção, os quais se costumam considerar opacos, tomando geralmente um horizontal: ν0 (niú zero) ou plano horizontal de projecção e o outro vertical: φ0 (fi zero) ou plano vertical de projecção.
Empregam-se 2 planos ortogonais de projecção, os quais se costumam considerar opacos, tomando geralmente um horizontal: ν0 (niú zero) ou plano horizontal de projecção e o outro vertical: φ0 (fi zero) ou plano vertical de projecção.
Projecções
A projecção no 1º plano chama-se projecção horizontal ou planta e a que se obtém no 2º plano: projecção vertical ou alçado.
Utiliza-se, por vezes, para melhor definir os objectos a representar, uma 3ª projecção, chamada vista lateral, perfil ou corte, obtida num plano normal aos do diedro, plano de projecção de perfil.
A projecção horizontal representa-se sempre pela mesma letra ou letras, que a figura, com 1 plica ( ‘ ) – e a projecção vertical de modo semelhante, mas com 2 plicas ( ‘’ ).
A projecção no 1º plano chama-se projecção horizontal ou planta e a que se obtém no 2º plano: projecção vertical ou alçado.
Utiliza-se, por vezes, para melhor definir os objectos a representar, uma 3ª projecção, chamada vista lateral, perfil ou corte, obtida num plano normal aos do diedro, plano de projecção de perfil.
A projecção horizontal representa-se sempre pela mesma letra ou letras, que a figura, com 1 plica ( ‘ ) – e a projecção vertical de modo semelhante, mas com 2 plicas ( ‘’ ).
Quadrantes
Os planos dividem o espaço em 4 quadrantes. Considerando um observador, de pé no ν0 e olhando para o φ0, designaremos por 1º Quadrante aquele em que ele está situado, sendo os estantes numerados pela ordem que se indica.
A intersecção de ν0 com φ0 designa-se por Linha de Terra e representa-se por LT.
Esta indica a divisão de cada um dos planos de projecção em 2 semi-planos: φ0 superior e φ0 inferior, ν0 anterior eν0 posterior.
Cada um dos Quadrantes é definido pelos respectivos semi-planos. O 1º Quadrante é definido pelo ν0 anterior e oφ0 superior e assim sucessivamente para os restantes.
Os planos dividem o espaço em 4 quadrantes. Considerando um observador, de pé no ν0 e olhando para o φ0, designaremos por 1º Quadrante aquele em que ele está situado, sendo os estantes numerados pela ordem que se indica.
A intersecção de ν0 com φ0 designa-se por Linha de Terra e representa-se por LT.
Esta indica a divisão de cada um dos planos de projecção em 2 semi-planos: φ0 superior e φ0 inferior, ν0 anterior eν0 posterior.
Cada um dos Quadrantes é definido pelos respectivos semi-planos. O 1º Quadrante é definido pelo ν0 anterior e oφ0 superior e assim sucessivamente para os restantes.
Rebatimento
Por questões óbvias, em harmonia com os objectivos de maior comodidade e economia, o diedro é rebatido transformando-se o conjunto num sistema de maior simplicidade. Efectuadas as projecções no espaço, roda-se o φ0 em torno de LT, no sentido apresentado na figura. A vantagem resulta na possibilidade do sistema associar dois níveis projecção espacial no mesmo plano de representação. Considerando a natureza infinita dos planos suprime-se o rectângulo que limita a figura, indicando apenas LT.
Planos bissectores
São os planos bissectores dos 4 Quadrantes, designados por β13 (plano bissector dos Quadrantes ímpares) e β24(plano bissector dos Quadrantes Pares). À semelhança dos planos que formam o diedro, estes são normais entre si.
Em conjunto com os planos de projecção dividem o espaço em octantes.
São os planos bissectores dos 4 Quadrantes, designados por β13 (plano bissector dos Quadrantes ímpares) e β24(plano bissector dos Quadrantes Pares). À semelhança dos planos que formam o diedro, estes são normais entre si.
Em conjunto com os planos de projecção dividem o espaço em octantes.
Ponto, Recta e Plano
Ponto
Considerando que toda e qualquer figura é constituida por pontos, a aplicação do princípio relativamente ao ponto descreve-se como fundamental à projecção de qualquer elemento.
Considerando um Ponto A traçam-se duplas projectantes ortogonais: uma projectante vertical para obter a projecção horizontal e a outra, uma projectante horizontal para encontrar a projecção vertical.
Contudo, por questões de ordem prática, essas projectantes recebem a designação dos respectivos planos de projecção. Sendo que a projectante horizontal é designada por vertical por projectar o ponto
no Plano Vertical φ0 e a projectante vertical recebe a designação de horizontal por projectar o ponto no Plano Horizontal ν0.
AA’ - Projectante Horizontal
AA” - Projectante Vertical
Aplicando o método descrito em anteriormente obtém-se o resultado elementar da dupla projecção ortogonal de um ponto. Para A (A’;A”) temos em A’ o valor do afastamento medido através de AA” e em A” o valor da cota medido em AA’
Ponto
Considerando que toda e qualquer figura é constituida por pontos, a aplicação do princípio relativamente ao ponto descreve-se como fundamental à projecção de qualquer elemento.
Considerando um Ponto A traçam-se duplas projectantes ortogonais: uma projectante vertical para obter a projecção horizontal e a outra, uma projectante horizontal para encontrar a projecção vertical.
Contudo, por questões de ordem prática, essas projectantes recebem a designação dos respectivos planos de projecção. Sendo que a projectante horizontal é designada por vertical por projectar o ponto
no Plano Vertical φ0 e a projectante vertical recebe a designação de horizontal por projectar o ponto no Plano Horizontal ν0.
AA’ - Projectante Horizontal
AA” - Projectante Vertical
Aplicando o método descrito em anteriormente obtém-se o resultado elementar da dupla projecção ortogonal de um ponto. Para A (A’;A”) temos em A’ o valor do afastamento medido através de AA” e em A” o valor da cota medido em AA’
Coordenadas de um Ponto
As distâncias de um ponto aos planos da dupla projecção ortogonal definem a sua posição relativamente ao diedro e designam-se por coordenadas, agrupadas na seguinte ordem de indicações:
- Abcissa ou lateralidade
Distância a um plano de perfil de referência, medida positivamente para a direita e negativamente para a esquerda da origem estabelecida em O, ponto relativo existente em LT. O local de O é escolhido de modo a centrar a figura na folha de desenho.
- Afastamento
Distância do ponto ao Plano Vertical de Projecção. Definida em AA” e na representação desenhada por A0A’. Nos 2º e 3º Quadrantes o Afastamento é negativo.
- Cota
Distância do ponto ao Plano Horizontal de Projecção. Definida em AA’ e na representação desenhada por A0A”. Nos 3º e 4º Quadrantes a Cota é negativa.
As distâncias de um ponto aos planos da dupla projecção ortogonal definem a sua posição relativamente ao diedro e designam-se por coordenadas, agrupadas na seguinte ordem de indicações:
- Abcissa ou lateralidade
Distância a um plano de perfil de referência, medida positivamente para a direita e negativamente para a esquerda da origem estabelecida em O, ponto relativo existente em LT. O local de O é escolhido de modo a centrar a figura na folha de desenho.
- Afastamento
Distância do ponto ao Plano Vertical de Projecção. Definida em AA” e na representação desenhada por A0A’. Nos 2º e 3º Quadrantes o Afastamento é negativo.
- Cota
Distância do ponto ao Plano Horizontal de Projecção. Definida em AA’ e na representação desenhada por A0A”. Nos 3º e 4º Quadrantes a Cota é negativa.
Recta
As projecções de uma recta definem-se frequentemente a partir das respectivas projecções de dois dos seus pontos. Mormente as projecções de uma recta são rectas enquanto imagens projectadas da recta dada ou alternadamente pontuais caso a recta apresentar-se em posição normal a um ou a outro plano de projecção (rectas verticais ou normais ao ν ou horizontais, de topo ou de frente, normais ao φ). Um ponto qualquer de uma recta tem as suas projecções sobre as homónimas dessa recta.
A taxonomia da posição das rectas relativamente ao diedro de projecção permite-nos constatar a generalidade dos casos possíveis e uma excepção, no caso de se tratarem de rectas de perfil.
As projecções de uma recta definem-se frequentemente a partir das respectivas projecções de dois dos seus pontos. Mormente as projecções de uma recta são rectas enquanto imagens projectadas da recta dada ou alternadamente pontuais caso a recta apresentar-se em posição normal a um ou a outro plano de projecção (rectas verticais ou normais ao ν ou horizontais, de topo ou de frente, normais ao φ). Um ponto qualquer de uma recta tem as suas projecções sobre as homónimas dessa recta.
A taxonomia da posição das rectas relativamente ao diedro de projecção permite-nos constatar a generalidade dos casos possíveis e uma excepção, no caso de se tratarem de rectas de perfil.
Classificação das rectas relativamente ao diedro
Fronto Horizontal ou Horizontal de Frente
Recta paralela aos dois planos de projecção, com Cota e afastamento constantes. Se em valor absoluto o afastamento apresentar-se igual à cota, a recta também se considera pertencente ao β13 ou ao β24.
Recta projectante aos planos do diedro.
Recta paralela aos dois planos de projecção, com Cota e afastamento constantes. Se em valor absoluto o afastamento apresentar-se igual à cota, a recta também se considera pertencente ao β13 ou ao β24.
Recta projectante aos planos do diedro.
Topo
Recta paralela ao Plano Horizontal de Projecção e perpendicular ou normal ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante horizontal.
Recta projectante horizontal.
Vertical
Recta paralela ao Plano Vertical de Projecção e perpendicular ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante vertical.
Recta projectante vertical.
Frente
Recta paralela ao Plano Vertical de Projecção e oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção.
Recta projectante vertical.
Recta projectante vertical.
Nível
Recta paralela ao Plano Horizontal de Projecção e oblíqua ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante horizontal.
Recta projectante horizontal.
Perfil
Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção. Recta perpendicular à Linha de Terra.
Recta de perfil
Passante
Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção. Recta concorrente com a Linha de Terra. Caso notável de obliquidade.
Recta passante
Oblíqua
Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção.
Recta oblíqua
Pontos notáveis de uma recta
Consideram-se pontos notáveis de uma recta os seus traços nos planos de projecção e nos bissectores. Os primeiros indicam quando a recta transita de um quadrante para outro e os segundos traços indicam as mudanças de octantes.
Analisando o exemplo apresentado indicam-se as projecções dos traços da recta oblíqua e.
Consideram-se pontos notáveis de uma recta os seus traços nos planos de projecção e nos bissectores. Os primeiros indicam quando a recta transita de um quadrante para outro e os segundos traços indicam as mudanças de octantes.
Analisando o exemplo apresentado indicam-se as projecções dos traços da recta oblíqua e.
- (V’; V”) e (H’; H”) Projecções dos traços vertical e horizontal da recta considerados sobre os planos que constituem o diedro.
(H’; H”) são as projecções do traço horizontal da recta, ou da sua intersecção com ν0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por He dado que a recta está indicada por e. A constante do valor de H” é 0.
(V’; V”) são as projecções do traço vertical da recta, ou da sua intersecção com φ0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por Ve, dado que a recta está nomeada por e. A constante do valor de V’ é 0.
(V’; V”) são as projecções do traço vertical da recta, ou da sua intersecção com φ0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por Ve, dado que a recta está nomeada por e. A constante do valor de V’ é 0.
- (I’;I”) e (P’;P”) Projecções dos traços bissectores da recta sobre os planos β13 e β24.
(I’;I”) são as projecções do traço da recta sobre o β13. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Ie. Sendo as coordenadas de igual valor numérico os sinais relativos de positivo ou negativo indicam a localização do traço no I quadrante |+,+| (1º semi-plano β13)ambas coordenadas positivas, ou III quadrante |-,-| (3º semi-plano β13) ambas coordenadas negativas.
(P’;P”) são as projecções do traço da recta sobre o β24. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Pe. Sendo em termos absolutos as coordenadas de igual valor numérico, os sinais simétricos de positivo, negativo indicam a localização do traço na separação entre o VII e o VIII Octante |+,-|(4º semi-planoβ24), como é o exemplo ilustrado, e no caso dos sinais negativo, positivo |-,+| o traço situa-se na separação entre o III e o IV Octante (2º semi-plano β24).
(P’;P”) são as projecções do traço da recta sobre o β24. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Pe. Sendo em termos absolutos as coordenadas de igual valor numérico, os sinais simétricos de positivo, negativo indicam a localização do traço na separação entre o VII e o VIII Octante |+,-|(4º semi-planoβ24), como é o exemplo ilustrado, e no caso dos sinais negativo, positivo |-,+| o traço situa-se na separação entre o III e o IV Octante (2º semi-plano β24).
Complanicidade e Propriedades
Duas rectas complanares intersectam-se ou são paralelas. Qualquer das relações anteriores permite a definição de um plano. Sendo que, para se verificar a intersecção, é obrigatório um ponto comum, com as respectivas projecções assentes sobre as projecções homónimas das rectas dadas.
Duas rectas complanares intersectam-se ou são paralelas. Qualquer das relações anteriores permite a definição de um plano. Sendo que, para se verificar a intersecção, é obrigatório um ponto comum, com as respectivas projecções assentes sobre as projecções homónimas das rectas dadas.
1 – Concorrentes —————————————— 2 – Enviesadas
3 – Complanares ——————————— 4 – Não Complanares
Muitas vezes, mas erradamente, considera-se a intersecção das projecções como base suficiente para a verificação da concorrência entre rectas.
1 . Concorrentes
No primeiro exemplo, verifica-se a intersecção dada a existência de dois pontos comuns às rectas a e b, efectivamente B e Z são coincidentes – pois ambas as projecções são coincidentes B’≡Z’; B”≡Z” – sendo Bpertencente a a, e Z pertencente a b, logo a e b são concorrentes.
2 – Enviesadas ou não Concorrentes
No segundo exemplo, verifica-se o erro frequente em interpretar deficientemente as intersecções das projecções como prova da intersecção das rectas. Para julgar este caso, é suficiente considerar B”≠Z”, basta uma das projecções não estar coincidente e esse ponto não será comum a ambas as rectas, ou seja B∂Z (Imagem do local deB parcialmente diferente do respectivo de Z) em qualquer das projecções. O mesmo acontece relativamente ao ponto C que somente pertence à recta a.
3 – Complanares
Duas rectas concorrentes definem um Plano. Enquanto elementos geométricos de assistência à definição e pertença do plano designam-se por complanares. Os traços homónimos de cada recta definem os traços do Plano α- Traços Verticais das rectas dadas definem o Traço Vertical do Plano / Traços Horizontais das rectas dadas definem o Traço Horizontal do Plano.
4 – Não Complanares
Como apresentado acima, no desenho subordinado ao presente caso, duas rectas não complanares só erradamente apoiam o desenho de um plano. Apesar de ser possível unir as projecções dos Traços homónimos das rectas apresentadas, as rectas resultantes não representam os Traços de qualquer plano, dado o facto das rectas que o originam serem enviesadas.
1 . Concorrentes
No primeiro exemplo, verifica-se a intersecção dada a existência de dois pontos comuns às rectas a e b, efectivamente B e Z são coincidentes – pois ambas as projecções são coincidentes B’≡Z’; B”≡Z” – sendo Bpertencente a a, e Z pertencente a b, logo a e b são concorrentes.
2 – Enviesadas ou não Concorrentes
No segundo exemplo, verifica-se o erro frequente em interpretar deficientemente as intersecções das projecções como prova da intersecção das rectas. Para julgar este caso, é suficiente considerar B”≠Z”, basta uma das projecções não estar coincidente e esse ponto não será comum a ambas as rectas, ou seja B∂Z (Imagem do local deB parcialmente diferente do respectivo de Z) em qualquer das projecções. O mesmo acontece relativamente ao ponto C que somente pertence à recta a.
3 – Complanares
Duas rectas concorrentes definem um Plano. Enquanto elementos geométricos de assistência à definição e pertença do plano designam-se por complanares. Os traços homónimos de cada recta definem os traços do Plano α- Traços Verticais das rectas dadas definem o Traço Vertical do Plano / Traços Horizontais das rectas dadas definem o Traço Horizontal do Plano.
4 – Não Complanares
Como apresentado acima, no desenho subordinado ao presente caso, duas rectas não complanares só erradamente apoiam o desenho de um plano. Apesar de ser possível unir as projecções dos Traços homónimos das rectas apresentadas, as rectas resultantes não representam os Traços de qualquer plano, dado o facto das rectas que o originam serem enviesadas.
Neste caso particular, o traçado parece ser possível porque a recta passante, origina o equívoco de que os seus traços (Ha e Va), em conjunto com com os traços da recta b (Hb e Vb), podem definir os traços de um plano . De facto não se tratam de duas rectas concorrentes nem paralelas e como tal não podem originar um plano > não sendo possível determinar um só plano que as contenha simultaneamente.
Em representação axonométrica é fácil visualizar a separação entre as rectas a e b. Rodando o conjunto projectivo, para debaixo melhor observar a separação a azul, é evidente a conclusão da impossibilidade complanar entre as duas rectas. Caso persistam dúvidas sobre este caso, aconselho o seu simulacro a partir de uma maqueta simples.
Para a situação seguinte de duas rectas enviesadas, as rectas k e K1 obtidas a partir da união dos traços de a e b não representam os traços de qualquer plano, mas apenas duas rectas concorrentes às rectas dadas (a e b). O facto de K e K1 não serem concorrentes entre si, mas também enviesadas, determina à partida a impossibilidade de se traçar um plano que contenha as rectas anteriores – a e b
Paralelismo
Duas rectas paralelas são complanares. O que se traduz em dupla projecção ortogonal pelo paralelismo entre as projecções homónimas desses elementos geométricos. Este princípio é válido para as rectas e planos como de seguida se poderá verificar.
Considerando a união dos respectivos traços de duas rectas paralelas obtém-se um plano definido por estas como no caso detalhadamente apresentado.
Considerando a união dos respectivos traços de duas rectas paralelas obtém-se um plano definido por estas como no caso detalhadamente apresentado.
Uma recta paralela a um plano é paralela a uma qualquer recta pertencente a esse plano. Evitar o erro grosseiro de definir a relação de paralelismo apenas quando as projecções da recta se apresentem paralelas aos traços do mesmo nome do plano. Esse enunciado só será válido relativamente a planos de rampa ou passantes.
Apresentamos agora um exemplo de caso geral: f é paralelo ao plano η pois este último contém uma recta e paralela à dada. Como podemos verificar as projecções da recta f não são paralelas aos traços homónimos do plano referido.
Apresentamos agora um exemplo de caso geral: f é paralelo ao plano η pois este último contém uma recta e paralela à dada. Como podemos verificar as projecções da recta f não são paralelas aos traços homónimos do plano referido.
Dois planos de rampa serão paralelos quando existir uma recta oblíqua de um, paralela a uma recta oblíqua do outro.
Este caso configura duas rectas concorrentes (o,vδ) paralelas as outras duas concorrentes (o1,vπ), se cada define um plano e define o paralelismo, logo os planos definidos serão paralelos.
Este caso configura duas rectas concorrentes (o,vδ) paralelas as outras duas concorrentes (o1,vπ), se cada define um plano e define o paralelismo, logo os planos definidos serão paralelos.
[vδ,o] ⁄ ⁄ [vΠ,o1] =>δ ⁄ ⁄ Π
[vδ,o] ¬ ⁄ ⁄ [vλ,o2] =>δ ¬ ⁄ ⁄ λ
Perpendicularidade
Uma recta é considerada perpendicular a um plano quando é perpendicular a duas rectas concorrentes pertencentes a esse plano. Em dupla projecção ortogonal verifica-se tal relação quando uma recta tem as suas projecções perpendiculares aos traços do mesmo nome do plano.
Se N pertence ao plano dado, porque pertence a uma qualquer recta do plano, a perpendicular ao plano e concorrente nesse ponto do plano também será perpendicular relativamente às projectantes notáveis do mesmo plano.
PN é perpendicular à recta de frente f e à sua concorrente a recta de nível n. Se f é paralela ao traço vertical e n é paralela ao traço horizontal do plano então PN é perpendicular vη e hη e é perpendicular a qualquer recta do planoη.
Se N pertence ao plano dado, porque pertence a uma qualquer recta do plano, a perpendicular ao plano e concorrente nesse ponto do plano também será perpendicular relativamente às projectantes notáveis do mesmo plano.
PN é perpendicular à recta de frente f e à sua concorrente a recta de nível n. Se f é paralela ao traço vertical e n é paralela ao traço horizontal do plano então PN é perpendicular vη e hη e é perpendicular a qualquer recta do planoη.
Um plano é perpendicular a outro se contiver uma recta perpendicular a esse plano.
O plano ω contém a recta que incluí o segmento PN perpendicular ao plano ψ , logo o plano ω é perpendicular ao plano ψ.
O plano ω contém a recta que incluí o segmento PN perpendicular ao plano ψ , logo o plano ω é perpendicular ao plano ψ.
Casos gerais de intersecção
A intersecção entre planos é desenhada a partir da intersecção dos traços homónimos de cada plano. A intersecção dos traços verticais dos planos indicam o traço vertical da recta (e) e do mesmo modo a intersecção dos traços horizontais dos planos determinam o traço horizontal da recta em questão.
A intersecção simultânea entre três planos origina um ponto ou um recta como se poderá deduzir dos casos acima apresentados.
Para determinar a intersecção de uma recta com um plano recorre-se a um plano auxiliar que contenha a recta dada. A intersecção entre os dois planos origina uma recta que concorre com a primeira recta (e) precisamente no seu ponto de intersecção com o plano em questão (E)
Para determinar a intersecção de uma recta com um plano recorre-se a um plano auxiliar que contenha a recta dada. A intersecção entre os dois planos origina uma recta que concorre com a primeira recta (e) precisamente no seu ponto de intersecção com o plano em questão (E)
Métodos gerais
Rebatimento, Mudança de Planos e Rotação
Para a resolução de diversos problemas projectivos associados à medição ou construção de valores nas suas verdadeiras configurações e grandeza aplicam-se os seguintes métodos gerais:
- Rebatimento | De planos projectantes e de planos oblíquos sobre os planos de projecção, ou sobre planos de natureza diversa.
- Mudança de planos | Por alteração dos planos de projecção é possível transformar em projectante um dado elemento.
- Rotação | Realizam-se em torno de eixos projectantes transformando-se os elementos projectados em paralelos ou em outras relações entre os elementos projectados.
- Rebatimento | De planos projectantes e de planos oblíquos sobre os planos de projecção, ou sobre planos de natureza diversa.
- Mudança de planos | Por alteração dos planos de projecção é possível transformar em projectante um dado elemento.
- Rotação | Realizam-se em torno de eixos projectantes transformando-se os elementos projectados em paralelos ou em outras relações entre os elementos projectados.
Rebatimento
Enquanto os métodos da mudança de planos e da rotação são aplicáveis a elementos existentes para além de um dado plano, o rebatimento só é aplicável a um elemento que pertença ao plano rebatido.
O rebatimento consiste em rodar um plano considerado em torno da recta da sua intersecção com outro plano. Se rodarmos o plano para uma posição projectante obteremos uma figura rebatida que se apresenta em verdadeira grandeza. É possível aplicar o raciocínio inverso e obter as projecções de uma figura a partir de dados rebatidos, como se verifica nos exemplos apresentados.
O rebatimento consiste em rodar um plano considerado em torno da recta da sua intersecção com outro plano. Se rodarmos o plano para uma posição projectante obteremos uma figura rebatida que se apresenta em verdadeira grandeza. É possível aplicar o raciocínio inverso e obter as projecções de uma figura a partir de dados rebatidos, como se verifica nos exemplos apresentados.
Rebatimento realizado a partir de Charneira vertical e horizontal
Considerando A como vértice de um quadrado existente sobre um dado plano vertical, procedeu-se ao rebatimentos deste sobre o plano vertical de projecção para obter o ponto A rebatido em origem projectante (PVP).
A partir de Ar é possível desenhar em verdadeira grandeza o quadrado rebatido ArBrCrDr e seguidamente realizar em operação inversa um contra-rebatimento. Obtém-se a partir deste método as projecções A’B’C’D’ eA”B”C”D”do quadrado ABCD pertencente ao plano vertical em questão.
Considerando A como vértice de um quadrado existente sobre um dado plano vertical, procedeu-se ao rebatimentos deste sobre o plano vertical de projecção para obter o ponto A rebatido em origem projectante (PVP).
A partir de Ar é possível desenhar em verdadeira grandeza o quadrado rebatido ArBrCrDr e seguidamente realizar em operação inversa um contra-rebatimento. Obtém-se a partir deste método as projecções A’B’C’D’ eA”B”C”D”do quadrado ABCD pertencente ao plano vertical em questão.
traço vertical – charneira vertical – esquerda
traço horizontal – charneira horizontal – posterior
O rebatimento de um plano pode realizar-se a partir do seu traço vertical – charneira vertical, ou do seu traçohorizontal – charneira horizontal. Estes permitem rebatimentos à direita ou à esquerda e anteriores ou posteriores.
Aplicando o rebatimento associado ao princípio da perpendicularidade entre rectas e planos torna-se simples projectar sólidos sobre quaisquer planos. Como se indica ao lado a título de
exemplificação – dupla pirâmide desenhada a partir da sua base original A;B;C;D, primeiro recorrendo ao método do rebatimento e contra-rebatimento, e seguidamente construindo o sólido a partir do eixo perpendicular à base e ao plano que a contém (indicado a traço ponto).
Rebatimento de um plano oblíquo
O rebatimento de um plano oblíquo é realizado determinando o traço segundo uma normal à charneira do movimento. Considerando um ponto qualquer V do traço vertical desse plano segue-se esse procedimento para calcular Vr. Unindo Vr ao ponto Or de intersecção dos traços horizontal e vertical do plano obtém-se Φr. O mesmo procedimento é aplicável para o rebatimento de Φ tendo como charneira o seu traço vertical.
As referências existentes em vΦ continuam a pertencer a vΦr, ou seja, por exemplo, todo e qualquer traço vertical de uma recta pertencente a Φ, assim como para os traços horizontais em hΦ relativamente a hΦr.
O arco de circunferência apresentado no desenho é apenas um método de transposição gráfica da distância entre Ve O, que se mantém igual após o rebatimento do plano sobre o plano horizontal de projecção.
São rectas notáveis de um plano oblíquo, as rectas de frente (f) e nível (n), assim como as rectas de maior declive(d) e maior inclinação (i), normais às respectivas charneiras, caso se trate do traço horizontal ou do traço vertical.
As referências existentes em vΦ continuam a pertencer a vΦr, ou seja, por exemplo, todo e qualquer traço vertical de uma recta pertencente a Φ, assim como para os traços horizontais em hΦ relativamente a hΦr.
O arco de circunferência apresentado no desenho é apenas um método de transposição gráfica da distância entre Ve O, que se mantém igual após o rebatimento do plano sobre o plano horizontal de projecção.
São rectas notáveis de um plano oblíquo, as rectas de frente (f) e nível (n), assim como as rectas de maior declive(d) e maior inclinação (i), normais às respectivas charneiras, caso se trate do traço horizontal ou do traço vertical.
Sólidos assentes em planos oblíquos
A resolução de problemas de sólidos com base pertencente a planos oblíquos é uma deriva da resolução adoptada também para o caso de planos projectantes como foi anteriormente tratado. O método do rebatimento e contra-rebatimento é suficiente para a determinação das projecções de bases. A projecção dos eixos ou altura desses sólidos pode ser definida a partir de planos projectantes auxiliares como se indica neste caso através do plano ω .
Mudança de planos
A mudança de planos consiste na alteração de posição de um dos planos de projecção, relativamente ao outro, mas mantendo sempre a relação diédrica entre ambos.
Cada alteração ocasiona uma nova Linha de Terra designada pelo índice - L1 T1 aplicado às novas posições introduzidas nos planos de projecção.
Quando se muda a posição de um plano de projecção mudam também as projecções nesse plano. Por isso, a natureza que fundamenta o sistema da projecção ortogonal, não sofre qualquer alteração, e as linhas projectantes dos elementos continuam normais aos planos homónimos do novo diedro.
Assim sendo, poderemos constatar através das ilustrações acima apresentadas, que para uma nova posição do φ0 a projectante de A sobre o φ1 é perpendicular a este como se deduz através da sua perpendicularidade à nova Linha de Terra L1T1. A não alteração do Plano Horizontal de Projecção determina uma cota de idêntico valor para a nova projecção vertical A1’’. O valor do afastamento é determinado pela normal da projecção A à nova posição de φ ou seja à nova Linha de Terra – L1T1.
A aplicação da mudança de planos é útil enquanto método simples e fiável para a adeterminação da verdadeira grandeza de elementos projectados, como se apresenta através do exemplo seguinte:
Cada alteração ocasiona uma nova Linha de Terra designada pelo índice - L1 T1 aplicado às novas posições introduzidas nos planos de projecção.
Quando se muda a posição de um plano de projecção mudam também as projecções nesse plano. Por isso, a natureza que fundamenta o sistema da projecção ortogonal, não sofre qualquer alteração, e as linhas projectantes dos elementos continuam normais aos planos homónimos do novo diedro.
Assim sendo, poderemos constatar através das ilustrações acima apresentadas, que para uma nova posição do φ0 a projectante de A sobre o φ1 é perpendicular a este como se deduz através da sua perpendicularidade à nova Linha de Terra L1T1. A não alteração do Plano Horizontal de Projecção determina uma cota de idêntico valor para a nova projecção vertical A1’’. O valor do afastamento é determinado pela normal da projecção A à nova posição de φ ou seja à nova Linha de Terra – L1T1.
A aplicação da mudança de planos é útil enquanto método simples e fiável para a adeterminação da verdadeira grandeza de elementos projectados, como se apresenta através do exemplo seguinte:
- Dado um segmento AB oblíquo determina-se a sua verdadeira grandeza mudando o φ como paralelo a AB. Ao definir AB para um segmento equivalente a um de nível torna-se simples medir o verdadeiro valor da sua grandeza, expressa por A1’’ B1”, a projecção vertical de AB sobre φ1.
Este método pode combinar-se com demais procedimentos aplicados em geometria descritiva.
Mudança do Plano φ Supondo que o segmento do exemplo anterior é o lado de um quadrado a definir no I Quadrante, após a mudança do PVP (posicionado paralelo a AB) poderemos desenhar sobre φ1 [L1T1] a sua projecção vertical em verdadeira grandeza A1”B1”C1”D1”.
Pretendendo construir um quadrado determinando outras hipóteses de posicionamento face aos planos originais de projecção, apresenta-se seguidamente uma estratégia simples associando a mudança de planos à rotação do elemento referido.
Mudança do Plano φ Supondo que o segmento do exemplo anterior é o lado de um quadrado a definir no I Quadrante, após a mudança do PVP (posicionado paralelo a AB) poderemos desenhar sobre φ1 [L1T1] a sua projecção vertical em verdadeira grandeza A1”B1”C1”D1”.
Pretendendo construir um quadrado determinando outras hipóteses de posicionamento face aos planos originais de projecção, apresenta-se seguidamente uma estratégia simples associando a mudança de planos à rotação do elemento referido.
Uma segunda mudança do plano φ [L2T2] transforma o plano vertical definido por ABCD num plano de perfil, plano esse facilmente “controlável” para uma rotação a partir do eixo horizontal de frente definido após a faseL1T1.
Os arcos desenhados correspondem ao método utilizado para transportar as cotas definidas graficamente após a rotação do quadrado em projecção A2B2C2D2 para a sua imagem rodada AaBaCaDa.
Por reversão processam-se os valores relativos à primeira posição do diedro, obtendo-se as projecções deAaBaCaDa resultantes do primeiro momento da rotação, e AbBbCbDb do segundo momento.
Note-se que grande parte do traçado é de natureza auxiliar para o transporte dos valores de cotas e afastamentos ao longo das sucessivas mudanças de planos e da rotação do plano a que pertence o quadrado.
Note-se que grande parte do traçado é de natureza auxiliar para o transporte dos valores de cotas e afastamentos ao longo das sucessivas mudanças de planos e da rotação do plano a que pertence o quadrado.
Resultado final sem as construções apresentadas. Projecções do quadrado A,B,C,D (A’,B’C',D’) e rotações para Aa,Ba,Ca,Da e Ab,Bb,Cb,Db. em torno de um eixo de nível.
Rotações
As rotações são essencialmente aplicadas com a finalidade de alterar a posição entre elementos ou destes relativamente aos planos de projecção.
Neste método roda-se a figura dada em torno duma recta – eixo de rotação – até que esta atinja a posição pretendida. Os planos de rotação são perpendiculares ao eixo de rotação. Por questões de simplificação os eixos de rotação devem ser desenhados perpendiculares a um dos planos de projecção.
Neste método roda-se a figura dada em torno duma recta – eixo de rotação – até que esta atinja a posição pretendida. Os planos de rotação são perpendiculares ao eixo de rotação. Por questões de simplificação os eixos de rotação devem ser desenhados perpendiculares a um dos planos de projecção.
Os eixos verticais tornam as cotas invariáveis e para caso de se utilizarem eixos de topo o afastamento é também invariável.
Deverá sempre considerar numa qualquer rotação que o valor angular aplicado à figura é sempre igual a todos os elementos dessa figura.
Este método é útil para a determinação da verdadeira grandeza de elementos não projectantes.
A sua complexidade gráfica torna-o num sistema pouco ergonómico para o desenho de peças de traçado complexo.
A rotação de uma recta ou de um segmento determina-se rodando com idêntico valor angular 2 pontos de referência. O mesmo princípio pode ser aplicado à rotação de planos rodando rectas projectantes – nível ou frente – enquanto rectas notáveis do plano dado.
Deverá sempre considerar numa qualquer rotação que o valor angular aplicado à figura é sempre igual a todos os elementos dessa figura.
Este método é útil para a determinação da verdadeira grandeza de elementos não projectantes.
A sua complexidade gráfica torna-o num sistema pouco ergonómico para o desenho de peças de traçado complexo.
A rotação de uma recta ou de um segmento determina-se rodando com idêntico valor angular 2 pontos de referência. O mesmo princípio pode ser aplicado à rotação de planos rodando rectas projectantes – nível ou frente – enquanto rectas notáveis do plano dado.
Apesar da rotação não ser o processo mais prático para a obtenção de soluções simples, apresenta-se a resolução para o cálculo da verdadeira grandeza de um triângulo. Inicialmente tornamos o triângulo em
posição de topo por rotação em torno de um eixo vertical. Utiliza-se como “envelope” do primeiro A;B;C um triângulo rectângulo 1;2;3 iniciado a partir de uma recta de nível e uma perpendicular a esta. Após a rotação (para a esquerda) obtém-se 11;21;31 e A1; B1; C1. Aplicando uma segunda rotação a partir de um eixo de topo o resultado é a verdadeira grandeza de triângulo dado: 12;22;32 e A2; B2; C2 .
posição de topo por rotação em torno de um eixo vertical. Utiliza-se como “envelope” do primeiro A;B;C um triângulo rectângulo 1;2;3 iniciado a partir de uma recta de nível e uma perpendicular a esta. Após a rotação (para a esquerda) obtém-se 11;21;31 e A1; B1; C1. Aplicando uma segunda rotação a partir de um eixo de topo o resultado é a verdadeira grandeza de triângulo dado: 12;22;32 e A2; B2; C2 .
A resolução mais compreensível é a seguinte (rotação para a direita) e por conseguinte a preferida em termos da clareza dos passos desenvolvidos.
Desenho Geral Celso Caires
Projecções
5 Dezembro 05 – 9h30-13h00
Perpendicularidade, métodos, eixos, verdadeira grandeza e construção de sólidos.
Considere um plano definido a partir dos seguintes três 3 pontos:
- O (0;0;0)
- A (5;0;4)
- B (8;4;0)
Sobre esse plano está assente um tetraedro regular cuja base inferior é ABC. C é o ponto de maior lateralidade dessa base.
Desenhe em formato normalizado as projecções do sólido referido, aplicando as normas em vigor e seguindo os princípios de uma correcta representação gráfica rigorosa.
Escreva um relatório sucinto e fundamentado acerca das operações realizadas.
Projecções de ABC 20 | Correcção gráfica da solução 10 | Cálculo projectivo da altura do tetraedro 30 | Correcção gráfica 10 | Projecções do tetraedro 60 | Correcção gráfica 10 | Visibilidades 30 Correcção gráfica 10 | Relatório 20
200
Projecções
5 Dezembro 05 – 9h30-13h00
Perpendicularidade, métodos, eixos, verdadeira grandeza e construção de sólidos.
Considere um plano definido a partir dos seguintes três 3 pontos:
- O (0;0;0)
- A (5;0;4)
- B (8;4;0)
Sobre esse plano está assente um tetraedro regular cuja base inferior é ABC. C é o ponto de maior lateralidade dessa base.
Desenhe em formato normalizado as projecções do sólido referido, aplicando as normas em vigor e seguindo os princípios de uma correcta representação gráfica rigorosa.
Escreva um relatório sucinto e fundamentado acerca das operações realizadas.
Projecções de ABC 20 | Correcção gráfica da solução 10 | Cálculo projectivo da altura do tetraedro 30 | Correcção gráfica 10 | Projecções do tetraedro 60 | Correcção gráfica 10 | Visibilidades 30 Correcção gráfica 10 | Relatório 20
200
Dado que os pontos indicados A, B e C pertencem aos traços do plano, o seu desenho é imediato.
A partir do rebatimento do plano define-se em verdadeira grandeza a base rebatida ArBrCr do Tetraedro. Por contra-rebatimento desenham-se as respectivas projecções. O eixo do tetraedro é uma recta perpendicular ao plano da base (projecções perpendiculares aos traços homónimos do plano), sendo a altura do seu vértice V calculada graficamente segundo a construção apresentada. Passando pelo eixo um plano projectante de topo, rebate-se e obtem-se o eixo rebatido.
Transporta-se com recurso ao compasso o valor de VcZc sobre o eixo rebatido, no qual já se conhece a imagem Zr. Por contra-rebatimento determinam-se as projecções de V – vértice do tetraedro.
A partir do rebatimento do plano define-se em verdadeira grandeza a base rebatida ArBrCr do Tetraedro. Por contra-rebatimento desenham-se as respectivas projecções. O eixo do tetraedro é uma recta perpendicular ao plano da base (projecções perpendiculares aos traços homónimos do plano), sendo a altura do seu vértice V calculada graficamente segundo a construção apresentada. Passando pelo eixo um plano projectante de topo, rebate-se e obtem-se o eixo rebatido.
Transporta-se com recurso ao compasso o valor de VcZc sobre o eixo rebatido, no qual já se conhece a imagem Zr. Por contra-rebatimento determinam-se as projecções de V – vértice do tetraedro.
