quinta-feira, 28 de outubro de 2010

Para ajudar na compreensão da matéria

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IMPORTANTE:
Ter em consideração que as ABCISSAS NEGATIVAS MARCAM-SE
para a direita do ponto de abcissa nula e não para a esquerda,
como aqui se menciona.

As projecções horizontais devem ser marcadas com 1 e não '
As projecções frontais devem ser marcadas com 2 e não "

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Planos de projecção

O sistema de representação diédrica usado, também se chama: dupla projecção ortogonal ou sistema de Monge, em homenagem a este, embora já fosse conhecido anteriormente.
Empregam-se 2 planos ortogonais de projecção, os quais se costumam considerar opacos, tomando geralmente um horizontal: ν0 (niú zero) ou plano horizontal de projecção e o outro vertical: φ0 (fi zero) ou plano vertical de projecção.
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Projecções
A projecção no 1º plano chama-se projecção horizontal ou planta e a que se obtém no 2º plano: projecção vertical ou alçado.
Utiliza-se, por vezes, para melhor definir os objectos a representar, uma 3ª projecção, chamada vista lateral, perfil ou corte, obtida num plano normal aos do diedro, plano de projecção de perfil.
A projecção horizontal representa-se sempre pela mesma letra ou letras, que a figura, com 1 plica ( ‘ ) – e a projecção vertical de modo semelhante, mas com 2 plicas ( ‘’ ).
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Quadrantes
Os planos dividem o espaço em 4 quadrantes. Considerando um observador, de pé no ν0 e olhando para o φ0, designaremos por 1º Quadrante aquele em que ele está situado, sendo os  estantes numerados pela ordem que se indica.
A intersecção de ν0 com φ0 designa-se por Linha de Terra e representa-se por LT.
Esta indica a divisão de cada um dos planos de projecção em 2 semi-planos: φ0 superior e φ0 inferior, ν0 anterior eν0 posterior.
Cada um dos Quadrantes é definido pelos respectivos semi-planos. O 1º Quadrante é definido pelo ν0 anterior e oφ0 superior e assim sucessivamente para os restantes.
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Rebatimento

Por questões óbvias, em harmonia com os objectivos de maior comodidade e economia, o diedro é rebatido transformando-se o conjunto num sistema de maior simplicidade. Efectuadas as projecções no espaço, roda-se o φ0 em torno de LT, no sentido apresentado na figura. A vantagem resulta na possibilidade do sistema associar dois níveis projecção espacial no mesmo plano de representação. Considerando a natureza infinita dos planos suprime-se o rectângulo que limita a figura, indicando apenas LT.
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Planos bissectores
São os planos bissectores dos 4 Quadrantes, designados por β13 (plano bissector dos Quadrantes ímpares) e β24(plano bissector dos Quadrantes Pares). À semelhança dos planos que formam o diedro, estes são normais entre si.
Em conjunto com os planos de projecção dividem o espaço em octantes.
Ponto, Recta e Plano
Ponto
Considerando que toda e qualquer figura é constituida por pontos, a aplicação do princípio relativamente ao ponto descreve-se como fundamental à projecção de qualquer elemento.
Considerando um Ponto A traçam-se duplas projectantes ortogonais: uma projectante vertical para obter a projecção horizontal e a outra, uma projectante horizontal para encontrar a projecção vertical.
Contudo, por questões de ordem prática, essas projectantes recebem a designação dos respectivos planos de projecção. Sendo que a projectante horizontal é designada por vertical por projectar o ponto
no Plano Vertical φ0 e a projectante vertical recebe a designação de horizontal por projectar o ponto no Plano Horizontal ν0.
AA’ - Projectante Horizontal
AA” - Projectante Vertical
Aplicando o método descrito em anteriormente obtém-se o resultado elementar da dupla projecção ortogonal de um ponto. Para A (A’;A”) temos em A’ o valor do afastamento medido através de AA” e em A” o valor da cota medido em AA’
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Coordenadas de um Ponto
As distâncias de um ponto aos planos da dupla projecção ortogonal definem a sua posição relativamente ao diedro e designam-se por coordenadas, agrupadas na seguinte ordem de indicações:
- Abcissa ou lateralidade
Distância a um plano de perfil de referência, medida positivamente para a direita e negativamente para a esquerda da origem estabelecida em O, ponto relativo existente em LT. O local de O é escolhido de modo a centrar a figura na folha de desenho.
- Afastamento
Distância do ponto ao Plano Vertical de Projecção. Definida em AA” e na representação desenhada por A0A’. Nos 2º e 3º Quadrantes o Afastamento é negativo.
- Cota
Distância do ponto ao Plano Horizontal de Projecção. Definida em AA’ e na representação desenhada por A0A”. Nos 3º e 4º Quadrantes a Cota é negativa.
Recta
As projecções de uma recta definem-se frequentemente a partir das respectivas projecções de dois dos seus pontos. Mormente as projecções de uma recta são rectas enquanto imagens projectadas da recta dada ou alternadamente pontuais caso a recta apresentar-se em posição normal a um ou a outro plano de projecção (rectas verticais ou normais ao ν ou horizontais, de topo ou de frente, normais ao φ). Um ponto qualquer de uma recta tem as suas projecções sobre as homónimas dessa recta.
A taxonomia da posição das rectas relativamente ao diedro de projecção permite-nos constatar a generalidade dos casos possíveis e uma excepção, no caso de se tratarem de rectas de perfil.
Classificação das rectas relativamente ao diedro
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Fronto Horizontal ou Horizontal de Frente
Recta paralela aos dois planos de projecção, com Cota e afastamento constantes. Se em valor absoluto o afastamento apresentar-se igual à cota, a recta também se considera pertencente ao β13 ou ao β24.
Recta projectante aos planos do diedro.
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Topo
Recta paralela ao Plano Horizontal de Projecção e perpendicular ou normal ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante horizontal.
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Vertical
Recta paralela ao Plano Vertical de Projecção e perpendicular ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante vertical.
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Frente
Recta paralela ao Plano Vertical de Projecção e oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção.
Recta projectante vertical.
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Nível
Recta paralela ao Plano Horizontal de Projecção e oblíqua ao Plano Vertical de Projecção.
Recta projectante horizontal.
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Perfil
Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção. Recta perpendicular à Linha de Terra.
Recta de perfil
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Passante
Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção. Recta concorrente com a Linha de Terra. Caso notável de obliquidade.
Recta passante
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Oblíqua
Recta oblíqua aos Planos Horizontal e Vertical de Projecção.
Recta oblíqua
Pontos notáveis de uma recta
Consideram-se pontos notáveis de uma recta os seus traços nos planos de projecção e nos bissectores. Os primeiros indicam quando a recta transita de um quadrante para outro e os segundos traços indicam as mudanças de octantes.
Analisando o exemplo apresentado indicam-se as projecções dos traços da recta oblíqua e.

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- (V’; V”) e (H’; H”) Projecções dos traços vertical e horizontal da recta considerados sobre os planos que constituem o diedro.
(H’; H”) são as projecções do traço horizontal da recta, ou da sua intersecção com ν0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por He dado que a recta está indicada por e. A  constante do valor de H” é 0.
(V’; V”) são as projecções do traço vertical da recta, ou da sua intersecção com φ0. Neste caso, o ponto resultante designa-se por Ve, dado que a recta está nomeada por e. A constante do valor de V’ é 0.
- (I’;I”) e (P’;P”) Projecções dos traços bissectores da recta sobre os planos β13 e β24.
(I’;I”) são as projecções do traço da recta sobre o β13. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Ie. Sendo as coordenadas de igual valor numérico os sinais relativos de positivo ou negativo indicam a localização do traço no I quadrante |+,+| (1º semi-plano β13)ambas coordenadas positivas, ou III quadrante |-,-| (3º semi-plano β13) ambas coordenadas negativas.
(P’;P”) são as projecções do traço da recta sobre o β24. À semelhança das razões apresentadas anteriormente o traço designa-se por Pe. Sendo em termos absolutos as coordenadas de igual valor numérico, os sinais simétricos de positivo, negativo indicam a localização do traço na separação entre o VII e o VIII Octante |+,-|(4º semi-planoβ24), como é o exemplo ilustrado, e no caso dos sinais negativo, positivo |-,+| o traço situa-se na separação entre o III e o IV Octante (2º semi-plano β24).
Complanicidade e Propriedades
Duas rectas complanares intersectam-se ou são paralelas. Qualquer das relações anteriores permite a definição de um plano. Sendo que, para se verificar a intersecção, é obrigatório um ponto comum, com as respectivas projecções assentes sobre as projecções homónimas das rectas dadas.
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1 – Concorrentes —————————————— 2 – Enviesadas
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3 – Complanares ——————————— 4 – Não Complanares
Muitas vezes, mas erradamente, considera-se a intersecção das projecções como base suficiente para a verificação da concorrência entre rectas.
1 . Concorrentes
No primeiro exemplo, verifica-se a intersecção dada a existência de dois pontos comuns às rectas a e b, efectivamente B e Z são coincidentes – pois ambas as projecções são coincidentes B’≡Z’B”≡Z” – sendo Bpertencente a a, e Z pertencente a b, logo a e b são concorrentes.
2 – Enviesadas ou não Concorrentes
No segundo exemplo, verifica-se o erro frequente em interpretar deficientemente as intersecções das projecções como prova da intersecção das rectas. Para julgar este caso, é suficiente considerar B”≠Z”, basta uma das projecções não estar coincidente e esse ponto não será comum a ambas as rectas, ou seja B∂Z (Imagem do local deB parcialmente diferente do respectivo de Z) em qualquer das projecções. O mesmo acontece relativamente ao ponto C que somente pertence à recta a.
3 – Complanares
Duas rectas concorrentes definem um Plano. Enquanto elementos geométricos de assistência à definição e pertença do plano designam-se por complanares. Os traços homónimos de cada recta definem os traços do Plano α- Traços Verticais das rectas dadas definem o Traço Vertical do Plano / Traços Horizontais das rectas dadas definem o Traço Horizontal do Plano.
4 – Não Complanares
Como apresentado acima, no desenho subordinado ao presente caso, duas rectas não complanares só erradamente apoiam o desenho de um plano. Apesar de ser possível unir as projecções dos Traços homónimos das rectas apresentadas, as rectas resultantes não representam os Traços de qualquer plano, dado o facto das rectas que o originam serem enviesadas.
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Neste caso particular, o traçado parece ser possível porque a recta passante, origina o equívoco de que os seus traços (Ha e Va),  em conjunto com com os traços da recta b (Hb e Vb), podem definir os traços de um plano . De facto não se tratam de duas rectas concorrentes nem paralelas e como tal não podem originar um plano > não sendo possível determinar um só plano que as contenha simultaneamente.
Em representação axonométrica é fácil visualizar a separação entre as rectas a e b. Rodando o conjunto projectivo, para debaixo melhor observar a separação a azul, é evidente a conclusão da impossibilidade complanar entre as duas rectas. Caso persistam dúvidas sobre este caso, aconselho o seu simulacro a partir de uma maqueta simples.
Para a situação seguinte de duas rectas enviesadas, as rectas k e K1 obtidas a partir da união dos traços de a e b não representam os traços de qualquer plano, mas apenas duas rectas concorrentes às rectas dadas (a e b).  O facto de K e K1 não serem concorrentes entre si, mas também enviesadas, determina à partida a impossibilidade de se traçar um plano que contenha as rectas anteriores – a e b
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Paralelismo

Duas rectas paralelas são complanares. O que se traduz em dupla projecção ortogonal pelo paralelismo entre as projecções homónimas desses elementos geométricos. Este princípio é válido para as rectas e planos como de seguida se poderá verificar.
Considerando a união dos respectivos traços de duas rectas paralelas obtém-se um plano definido por estas como no caso detalhadamente apresentado.
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Uma recta paralela a um plano é paralela a uma qualquer recta pertencente a esse plano. Evitar o erro grosseiro de definir a relação de paralelismo apenas quando as projecções da recta se apresentem paralelas aos traços do mesmo nome do plano. Esse enunciado só será válido relativamente a planos de rampa ou passantes.
Apresentamos agora um exemplo de caso geral: f é paralelo ao plano η pois este último contém uma recta e paralela à dada. Como podemos verificar as projecções da recta f não são paralelas aos traços homónimos do plano referido.
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Dois planos de rampa serão paralelos quando existir uma recta oblíqua de um, paralela a uma recta oblíqua do outro.
Este caso configura duas rectas concorrentes (o,vδ) paralelas as outras duas concorrentes (o1,vπ), se cada define um plano e define o paralelismo, logo os planos definidos serão paralelos.
[vδ,o] ⁄ ⁄ [vΠ,o1] =>δ ⁄ ⁄ Π
[vδ,o] ¬ ⁄ ⁄ [vλ,o2] =>δ ¬ ⁄ ⁄ λ
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Perpendicularidade

Uma recta é considerada perpendicular a um plano quando é perpendicular a duas rectas concorrentes pertencentes a esse plano. Em dupla projecção ortogonal verifica-se tal relação quando uma recta tem as suas projecções perpendiculares aos traços do mesmo nome do plano.
Se N pertence ao plano dado, porque pertence a uma qualquer recta do plano, a perpendicular ao plano e concorrente nesse ponto do plano também será perpendicular relativamente às projectantes notáveis do mesmo plano.
PN é perpendicular à recta de frente f e à sua concorrente a recta de nível n. Se f é paralela ao traço vertical e n é paralela ao traço horizontal do plano então PN é perpendicular vη  e é perpendicular a qualquer recta do planoη.
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Um plano é perpendicular a outro se contiver uma recta perpendicular a esse plano.
O plano ω contém a recta que incluí o segmento PN perpendicular ao plano ψ , logo o plano ω é perpendicular ao plano ψ.
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Casos gerais de intersecção

A intersecção entre planos é desenhada a partir da intersecção dos traços homónimos de cada plano. A intersecção dos traços verticais dos planos indicam o traço vertical da recta (e) e do mesmo modo a intersecção dos traços horizontais dos planos determinam o traço horizontal da recta em questão.
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A intersecção simultânea entre três planos origina um ponto ou um recta como se poderá deduzir dos casos acima apresentados.
Para determinar a intersecção de uma recta com um plano recorre-se a um plano auxiliar que contenha a recta dada. A intersecção entre os dois planos origina uma recta que concorre com a primeira recta (e) precisamente no seu ponto de intersecção com o plano em questão (E)

Métodos gerais

Rebatimento, Mudança de Planos e Rotação

Para a resolução de diversos problemas projectivos associados à medição ou construção de valores nas suas verdadeiras configurações e grandeza aplicam-se os seguintes métodos gerais:
- Rebatimento | De planos projectantes e de planos oblíquos sobre os planos de projecção, ou sobre planos de natureza diversa.
- Mudança de planos | Por alteração dos planos de projecção é possível transformar em projectante um dado elemento.
- Rotação | Realizam-se em torno de eixos projectantes transformando-se os elementos projectados em paralelos ou em outras relações entre os elementos projectados.

Rebatimento

Enquanto os métodos da mudança de planos e da rotação são aplicáveis a elementos existentes para além de um dado plano, o rebatimento só é aplicável a um elemento que pertença ao plano rebatido.
O rebatimento consiste em rodar um plano considerado em torno da recta da sua intersecção com outro plano. Se rodarmos o plano para uma posição projectante obteremos uma figura rebatida que se apresenta em verdadeira grandeza. É possível aplicar o raciocínio inverso e obter as projecções de uma figura a partir de dados rebatidos, como se verifica nos exemplos apresentados.
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Rebatimento realizado a partir de Charneira vertical e horizontal
Considerando A como vértice de um quadrado existente sobre um dado plano vertical, procedeu-se ao rebatimentos deste sobre o plano vertical de projecção para obter o ponto A rebatido em origem projectante (PVP).
A partir de Ar é possível desenhar em verdadeira grandeza o quadrado rebatido ArBrCrDr e seguidamente realizar em operação inversa um contra-rebatimento. Obtém-se a partir deste método as projecções A’B’C’D’ eA”B”C”D”do quadrado ABCD pertencente ao plano vertical em questão.
22DP39AB
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traço vertical – charneira vertical – esquerda
22DP4039f
traço horizontal – charneira horizontal – posterior
O rebatimento de um plano pode realizar-se a partir do seu traço vertical – charneira vertical, ou do seu traçohorizontal – charneira horizontal. Estes permitem rebatimentos à direita ou à esquerda e anteriores ou posteriores.
22DP39D
Aplicando o rebatimento associado ao princípio da perpendicularidade entre rectas e planos torna-se simples projectar sólidos sobre quaisquer planos. Como se indica ao lado a título de
exemplificação – dupla pirâmide desenhada a partir da sua base original A;B;C;D, primeiro recorrendo ao método do rebatimento e contra-rebatimento, e seguidamente construindo o sólido a partir do eixo perpendicular à base e ao plano que a contém (indicado a traço ponto).
Rebatimento de um plano oblíquo
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O rebatimento de um plano oblíquo é realizado determinando o traço segundo uma normal à charneira do movimento. Considerando um ponto qualquer V do traço vertical desse plano segue-se esse procedimento para calcular Vr. Unindo Vr ao ponto Or de intersecção dos traços horizontal e vertical do plano obtém-se Φr. O mesmo procedimento é aplicável para o rebatimento de Φ tendo como charneira o seu traço vertical.
As referências existentes em vΦ continuam a pertencer a vΦr, ou seja, por exemplo, todo e qualquer traço vertical de uma recta pertencente a Φ, assim como para os traços horizontais em hΦ relativamente a hΦr.
O arco de circunferência apresentado no desenho é apenas um método de transposição gráfica da distância entre VO, que se mantém igual após o rebatimento do plano sobre o plano horizontal de projecção.
São rectas notáveis de um plano oblíquo, as rectas de frente (f) e nível (n), assim como as rectas de maior declive(d) e maior inclinação (i), normais às respectivas charneiras, caso se trate do traço horizontal ou do traço vertical.
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Sólidos assentes em planos oblíquos
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A resolução de problemas de sólidos com base pertencente a planos oblíquos é uma deriva da resolução adoptada também para o caso de planos projectantes como foi anteriormente tratado. O método do rebatimento e contra-rebatimento é suficiente para a determinação das projecções de bases. A projecção dos eixos ou altura desses sólidos pode ser definida a partir de planos projectantes auxiliares como se indica neste caso através do plano ω .
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Mudança de planos

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A mudança de planos consiste na alteração de posição de um dos planos de projecção, relativamente ao outro, mas mantendo sempre a relação diédrica entre ambos.
Cada alteração ocasiona uma nova Linha de Terra designada pelo índice - L1 T1 aplicado às novas posições introduzidas nos planos de projecção.
Quando se muda a posição de um plano de projecção mudam também as projecções nesse plano. Por isso, a natureza que fundamenta o sistema da projecção ortogonal, não sofre qualquer alteração, e as linhas projectantes dos elementos continuam normais aos planos homónimos do novo diedro.
Assim sendo, poderemos constatar através das ilustrações acima apresentadas, que para uma nova posição do φ0 a projectante de A sobre o φ1 é perpendicular a este como se deduz através da sua perpendicularidade à nova Linha de Terra L1T1. A não alteração do Plano Horizontal de Projecção determina uma cota de idêntico valor para a nova projecção vertical A1’’. O valor do afastamento é determinado pela normal da projecção A à nova posição de φ ou seja à nova Linha de Terra – L1T1.
A aplicação da mudança de planos é útil enquanto método simples e fiável para a adeterminação da verdadeira grandeza de elementos projectados, como se apresenta através do exemplo seguinte:
- Dado um segmento AB oblíquo determina-se a sua verdadeira grandeza mudando o φ como paralelo a AB. Ao definir AB para um segmento equivalente a um de nível torna-se simples medir o verdadeiro valor da sua grandeza, expressa por A1’’ B1”, a projecção vertical de AB sobre φ1.
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Este método pode combinar-se com demais procedimentos aplicados em geometria descritiva.
Mudança do Plano φ Supondo que o segmento do exemplo anterior é o lado de um quadrado a definir no I Quadrante, após a mudança do PVP (posicionado paralelo a AB) poderemos desenhar sobre φ1 [L1T1] a sua projecção vertical em verdadeira grandeza A1”B1”C1”D1”.
Pretendendo construir um quadrado determinando outras hipóteses de posicionamento face aos planos originais de projecção, apresenta-se seguidamente uma estratégia simples associando a mudança de planos à rotação do elemento referido.
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Uma segunda mudança do plano φ [L2T2] transforma o plano vertical definido por ABCD num plano de perfil, plano esse facilmente “controlável” para uma rotação a partir do eixo horizontal de frente definido após a faseL1T1.
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Os arcos desenhados correspondem ao método utilizado para transportar as cotas definidas graficamente após a rotação do quadrado em projecção A2B2C2D2 para a sua imagem rodada AaBaCaDa.
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Por reversão processam-se os valores relativos à primeira posição do diedro, obtendo-se as projecções deAaBaCaDa resultantes do primeiro momento da rotação, e AbBbCbDb do segundo momento.
Note-se que grande parte do traçado é de natureza auxiliar para o transporte dos valores de cotas e afastamentos ao longo das sucessivas mudanças de planos e da rotação do plano a que pertence o quadrado.
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Resultado final sem as construções apresentadas. Projecções do quadrado A,B,C,D  (A’,B’C',D’) e rotações para Aa,Ba,Ca,Da e Ab,Bb,Cb,Db. em torno de um eixo de nível.

Rotações

As rotações são essencialmente aplicadas com a finalidade de alterar a posição entre elementos ou destes relativamente aos planos de projecção.
Neste método roda-se a figura dada em torno duma recta – eixo de rotação – até que esta atinja a posição pretendida. Os planos de rotação são perpendiculares ao eixo de rotação. Por questões de simplificação os eixos de rotação devem ser desenhados perpendiculares a um dos planos de projecção.
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Os eixos verticais tornam as cotas invariáveis e para caso de se utilizarem eixos de topo o afastamento é também invariável.
Deverá sempre considerar numa qualquer rotação que o valor angular aplicado à figura é sempre igual a todos os elementos dessa figura.
Este método é útil para a determinação da verdadeira grandeza de elementos não projectantes.
A sua complexidade gráfica torna-o num sistema pouco ergonómico para o desenho de peças de traçado complexo.
A rotação de uma recta ou de um segmento determina-se rodando com idêntico valor angular 2 pontos de referência. O mesmo princípio pode ser aplicado à rotação de planos rodando rectas projectantes – nível ou frente – enquanto rectas notáveis do plano dado.
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Apesar da rotação não ser o processo mais prático para a obtenção de soluções simples, apresenta-se a resolução para o cálculo da verdadeira grandeza de um triângulo. Inicialmente tornamos o triângulo em
posição de topo por rotação em torno de um eixo vertical. Utiliza-se como “envelope” do primeiro A;B;C um triângulo rectângulo 1;2;3 iniciado a partir de uma recta de nível e uma perpendicular a esta. Após a rotação (para a esquerda) obtém-se 11;21;31 e A1; B1; C1. Aplicando uma segunda rotação a partir de um eixo de topo o resultado é a verdadeira grandeza de triângulo dado: 12;22;32 e A2; B2; C2 .
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A resolução mais compreensível é a seguinte (rotação para a direita) e por conseguinte a preferida em termos da clareza dos passos desenvolvidos.
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Desenho Geral Celso Caires
Projecções
5 Dezembro 05 – 9h30-13h00
Perpendicularidade, métodos, eixos, verdadeira grandeza e construção de sólidos.
Considere um plano definido a partir dos seguintes três 3 pontos:
- O (0;0;0)
- A (5;0;4)
- B (8;4;0)
Sobre esse plano está assente um tetraedro regular cuja base inferior é ABC. C é o ponto de maior lateralidade dessa base.
Desenhe em formato normalizado as projecções do sólido referido, aplicando as normas em vigor e seguindo os princípios de uma correcta representação gráfica rigorosa.
Escreva um relatório sucinto e fundamentado acerca das operações realizadas.
Projecções de ABC 20 | Correcção gráfica da solução 10 | Cálculo projectivo da altura do tetraedro 30 | Correcção gráfica 10 |  Projecções do tetraedro 60 | Correcção gráfica 10 |  Visibilidades 30 Correcção gráfica 10 | Relatório 20
200
sol2
sol1
Dado que os pontos indicados A, B e C pertencem aos traços do plano, o seu desenho é imediato.
A partir do rebatimento do plano define-se em verdadeira grandeza a base rebatida ArBrCr do Tetraedro. Por contra-rebatimento desenham-se as respectivas projecções. O eixo do tetraedro é uma recta perpendicular ao plano da base (projecções perpendiculares aos traços homónimos do plano), sendo a altura do seu vértice V calculada graficamente segundo a construção apresentada. Passando pelo eixo um plano projectante de topo, rebate-se e obtem-se o eixo rebatido.
Transporta-se com recurso ao compasso o valor de VcZc sobre o eixo rebatido, no qual já se conhece a imagem Zr. Por contra-rebatimento determinam-se as projecções de V – vértice do tetraedro.