2º Exercício de interseções para queijo - 10º ano

Determine a reta de interseção i do plano de rampa ρ com o plano oblíquo α.
Dados:
– o plano de rampa ρ contém as retas fronto-horizontais a e b;
– a reta a tem 3 de afastamento e 3 de cota e a reta b tem 5 de afastamento e 2 de cota;
– os traços horizontal e frontal do plano oblíquo α fazem, ambos,ângulos de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo.

EXERCÍCIO de INTERSEÇÂO para queijo - 10º ano

Determine as projeções da reta i, de interseção dos planos oblíquos β e ω .
Dados:
– o plano β é definido pelas retas paralelas r e s;
– a reta r contém os pontos R (0; 1; 5) e S (1; 2; 3);
– a reta s contém o ponto T (4; 1; 2);
– os traços do plano ω intersetam-se num ponto com – 8 de abcissa: o traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, e o traço frontal faz um ângulo de 60° com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda).

2006, 1.ª Fase (código 409)

SÓLIDO - 11º ANO

Determine as projeções de um prisma quadrangular regular com bases contidas em planos de topo, sabendo que:
– o quadrado [ABCD] admite, como uma das suas diagonais, o segmento de reta [AC], cujos extremos são os pontos A (4; 2; 4,5)
e C (4; 9; 4,5);
– as arestas laterais do sólido são frontais e têm uma inclinação, com o plano horizontal de projeção, de 35º de abertura para a esquerda;
– o prisma tem 7 de altura;

10º ano - sólido

Determine as projeções de um prisma quadrangular oblíquo com bases horizontais, sabendo que:
– o quadrado [ABCD] admite, como uma das suas diagonais, o segmento de reta [AC], cujos extremos são os pontos A (4; 2; 0)
e C (4; 9; 0);
– as arestas laterais do sólido são frontais e têm uma inclinação, com o plano horizontal de projeção, de 45º de abertura para a direita;
– a segunda base tem 7 de cota;

EXERCÍCIOS DE REVISÃO - 11ºano

     EX1: Determine as projeções de um plano oblíquo 𝞭 e de uma reta f frontal desse plano sabendo que:

     O plano contém duas retas c e d, concorrentes no ponto Q ( 0; 0; 0 ).

     A reta c contém o ponto C ( 2; -2; 2 ).

     A reta d contém o ponto D ( 9; 3; 3 ).

       - A reta frontal f tem -4 cm de afastamento.

           a) Determine o ângulo entre a reta f e o P.H.P.

 EX2: Determine a verdadeira grandeza da distãncia entre dois planos sabendo que:
- O plano Teta está definido por uma das suas retas de maior inclinação i que contém A (0; 2; 5), a sua projeção frontal faz 30º (a.d.) e é paralela ao Beta 2.4.;
- Os traços do plano Alfa encontram X numa abcissa 6 cm mais à esquerda dos traços do plano Teta.

EX3: 2013, Época especial (código 708)
Determine os traços do plano µ paralelo ao plano θ.
Dados:
– o plano θ contém a reta h e o ponto M (5; 0; 0);
– a reta h é horizontal e contém o ponto A, pertencente ao bissetor dos diedros pares, com 4 de abcissa e 2 de cota;
– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano µ contém o ponto P (– 4; 2; 6).

EXERCÍCIO DE SÓLIDO EM PLANO oblíquo - 11º ano

EXERCÍCIO A - 2017 - 1ª fase (código 708)

Represente, pelas suas projecções,
uma pirâmide regular de base triangular,
situada no 1º diedro.
Dados:
- a base [ABC] pertence a um plano oblíquo alfa;
- o plano alfa é definido pelos pontos A (-1;4; 2),

   B (-4; 0; 9) e K do eixo x, com 2 de abcissa;
- o vértice V da pirâmide tem 4 de abcissa.

EXERCÍCIO B - Exame de 2015 - 2ª fase (código 708)
Determine os traços do plano a perpendicular ao plano de rampa d.
Dados:
- o plano d é definido pelo seu traço horizontal
com 6 de afastamento e pelo ponto A;
- o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota,
pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, b13;
- o plano a contém o ponto P (0; 9; 8);
- o traço frontal do plano a forma um ângulo
de 45º de abertura para a esquerda, com o eixo x.

REVISÕES TESTE 10ºano

EX2;
tipo 2/3
2003, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projeções da reta d, contida no plano oblíquo α.
Dados:
– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
– a reta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e a sua projeção horizontal faz 90º com a projeção horizontal do plano α.

EX3;
tipo 2/3
2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projeções da reta r, contida no plano oblíquo α.
Dados:
– os traços do plano α intersetam-se num ponto com – 4 de abcissa e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;
– a reta r contém o ponto R, com 3 de afastamento e 4 de cota;
– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a direita).

EX4;
tipo 4
2002, 2ª Fase (código 409) - adaptado
Represente um prisma triangular regular com duas bases de perfil, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- a face [ABC] é a face de perfil que se situa mais à esquerda;
- o vértice A tem 1 de afastamento e 5 de cota;
- o vértice B tem 5 de afastamento e 2 de cota.
- O sólido tem 6 cm de altura.

11º ano - REVISÕES

TIPO 1:
Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ. 
Dados – o plano ρ tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
 – a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

TIPO 2:

 2010, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ .
Dados:
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projeção, são coincidentes;
– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.

 

REVISÃO EXERCÌCIOS 10 ANO

EXERCÍCIO 01 - 1998, Prova Modelo (código 109)

Determine os traços do plano de rampa ρ, que contém a reta oblíqua r.

Dados:

– a reta r passa pelo ponto A (5; 2; 12);

– a projeção horizontal da reta faz um ângulo de 45º com o eixo x, com abertura para a esquerda;

–a reta r interseta o β13 no ponto Q, do terceiro diedro, com cota – 8cm.

EXERCÍCIO 02 - 1997, 2.ª Fase (código 109)

Determine os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α definido pelo ponto A(– 4; 2; 8) e pela reta de perfil que contém os pontos B(0; – 2; 8) e C(0; 8; – 2).

EXERCÍCIO 3 – 2003, 1ª Fase – 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projeção ortogonal, um prisma quadrangular recto, situado no primeiro diedro. sabendo que:
 - as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
- uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], cujo vértice A tem 3 de afastamento e 2 de cota;
- a aresta [AB] dessa base mede 5 cm e faz um ângulo de 30° com o plano horizontal de projeção de abertura para a direita;
- a altura do prisma mede 7 cm.

EXERCÍCIOS de REVISÃO - 10º ano~

TRAÇOS DE UM PLANO:
- Determina as projeções de um plano oblíquo alfa sabendo que:
- O plano alfa contém uma reta passante s que contém o ponto origem das abcissas e um ponto S (-4; 2; 5).
- O traço frontal do plano oblíquo alfa faz 60º (a.e.) com o eixo X.

EXERCÍCIOS 11º ano - REVISÕES

ORTOGONALIDADE ENTRE PLANOS:
- Determine os traços de um plano gama ortogonal a um plano teta sabendo que:
- Os traços horizontal e frontal de teta fazem 45º(a.e.) e 60 (a.d.) e encontram o eixo X num ponto com -3 cm de abcissa;
- O plano gama contém o ponto G (2; 1; 2) e tem os traços coincidentes.

DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO:
- Determina a verdadeira grandeza da distância entre um ponto R (2; -2; 5) e o plano oblíquo alfa sabendo que:
- O plano alfa contém uma reta passante s que contém o ponto origem das abcissas e um ponto S (-4; 2; 6).
- O traço frontal do plano oblíquo alfa faz 60º (a.e.) com o eixo X.

EXAME 2011, 1.ª Fase (código 708)

EXERCÍCIO 02 - 2011, 1.ª Fase (código 708)

Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular, situado no primeiro diedro.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.
Dados:
– as bases do prisma estão situadas em plano oblíquos, perpendiculares ao plano bissetor dos diedros ímpares;
– a base [ABC] está contida no plano α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– o ponto A (1; 3; 0) é um dos vértices da base referida;
– o ponto O' (3; 10; 9) é o centro da outra base.

SÓLIDO e FIGURA 11º ano - exercício de revisão

EX: 1:
Desenhe as projeções de um prisma pentagonal regular sabendo que:
- As arestas laterais são de perfil e fazem 50º com o P.H.P.;
- O centro da base de menor cota é o ponto O ( 0; 6; 4 );
- O vértice B da base de maior cota tem -1 cm de abcissa e é o ponto de maior cota do sólido
- O prisma tem 5 cm de altura e os pentágonos das bases estão inscritos em circunferências com 3,5 cm de raio.

EX: 2:
Desenhe as projeções dos pontos A, B e C existentes num plano de rampa omega sabendo que:
- O traço frontal do plano de rampa tem 7 cm de cota;

- Os pontos A ( 3; 1; 4), B com 2cm de afastamento e zero de abcissa e C com -4 cm de abcissa e do Beta 1.3, são os pontos do plano;
- Determine a verdadeira grandeza do triângulo.

EXERCÍCIO de SÓLIDO - 10º ano + TPC

Desenhe as projeções de um prisma hexagonal oblíquo de bases horizontais sabendo que:
- As arestas laterais são frontais e fazem 50º (a.e.) com o P.H.P.;
- O centro da base de maior cota é o ponto O ( 0; 6; 8 );
- O vértice A da base de maior cota tem 3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento.
- O prisma tem 5 cm de altura.

TPC:
Desenhe as projeções dos pontos A, B e C existentes num plano de rampa omega sabendo que:
- O traço frontal do plano de rampa tem 7 cm de cota;
- Os pontos A ( 3; 1; 4), B com 2cm de afastamento e zero de abcissa e C com -4 cm de abcissa e do Beta 1.3, são os pontos do plano;

REVISÕES PARA O TESTE DE AVALIAÇÃO - 11º ano

EXERCÍCIO TIPO 2:  Determine as projeções e a verdadeira grandeza de um triângulo ABC existente num plano oblíquo Teta sabendo que:
- Os traços do plano são coincidentes e o traço frontal faz 40º (a.d.) com o eixo X.
- A (5; 1), B ( 0; 0) e C (3; 7). 

EXERCÍCIO TIPO 4:  Determine as projeções de um prisma hexagonal oblíquo com arestas fronto-horizontais e duas das arestas de cada base de topo, sabendo que:
- A base de maior abcissa existe num plano de topo alfa que faz 50º (s.d) com o Plano Horizontal de Projeção;
- O ponto O ( 0; 7; 4 ) é o centro dessa base que está inscrita numa circunferência com 4 cm de raio;
- O prisma tem 6 cm de altura. 

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA O TESTE DE AVALIAÇÃO - 10º ano

ITEM 1:  Determine as projeções de duas retas r e s paralelas entre si, sabendo que:
- A reta r contém os pontos A (0; 3; 8) e B (5; 2; 1);
- A reta s contém o ponto I (-3; -2, 2)
a) Determine o percurso que a reta s faz no espaço e indique todos os seus pontos notáveis.

ITEM 2:  Determine as projeções dos traços de um plano oblíquo alfa sabendo que:
- O traço frontal do plano faz 30º (a.e.) e contém o ponto origem das abcissas.
- Os pontos B (-3; 6, 1) e C ( 3, 6) pertencem ao plano.
a) Determine as projeções da reta do Beta 2.4. do plano alfa.

ITEM 3:  Determine as projeções de um triângulo ABC existente num plano oblíquo Teta sabendo que:
- Os traços do plano são coincidentes e o traço frontal faz 40º (a.d.) com o eixo X.
- A (5; 1), B ( 2; 4) e C (3; 7). 

FIGURAS - Triãngulo em plano de rampa - 10º ano

- Determine as projeções de um triãngulo existente num plano de rampa, sabendo que:
DADOS:
- O traço frontal do plano tem 6 cm de cota e o seu traço horizontal tem 6 cm de afastamento.
- O ponto C ( -2; 0; 6 ) e o ponto B com 6 cm de abcissa e 3 cm de afastamento são dois vértices do triângulo.
- O ponto A pertence ao Beta 1.3. e tem abcissa nula.

Pirâmide hexagonal em plano de rampa - 11 ano

Desenhe uma pirãmide hexagonal regular com seis centímetros de altura sabendo que:

- A base existe num plano de rampa com 5 cm de afastamento e 4 cm de cota.

- O círculo que circunscreve a base é tangente ao P.H.P. e tem 2,5 cm de raio.

- O ponto O é centro da base e tem abcissa nula.

- Dois dos lados do hexágono da base fazem 15º com o Traço Horizontal do plano de rampa.

Cubo em plano de topo - 11º ano

Determine as projeções de um cubo do primeiro diedro com uma das faces contida num plano de topo α, sabendo que:
– as arestas têm 7 cm de lado;
– o ponto A (0; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção;
– o traço frontal do plano α faz com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita com o P.H.P..

Exercício de figura contida em plano oblíquo - 11º ano - ula de hoje

EXAME 1993, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projeções de um quadrado do primeiro diedro contido num plano α.
Dados:
– o quadrado tem 6 cm de lado;
– o ponto A (0; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção;
– o traço horizontal do plano α faz com o eixo x, um ângulo de 60 de abertura para a direita e a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos traços do plano α é de 75º.

- DISTÂNCIAS - aula de hoje 11º ano

Determine, graficamente, a distância do ponto P à reta de perfil b.
Dados:
– ponto P (4; 4; – 4);
– a reta b contém o ponto R (0; 3; 7) e faz um ângulo de 30º com o plano frontal de projeção;
– o traço horizontal da reta b tem afastamento positivo.

EXERCÍCIO DE HOJE 11º ano - exame 2010 1ª fase

Determine as projecções do triângulo [LMN].
Dados – o triângulo está situado no 1.º diedro;
– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
– o lado [LN] mede 8 cm;
– o ponto N é o vértice de menor cota.

Exercício 11ºD - aula de hoje

2007, 1.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos α e β.
Dados:
– os planos intersetam-se na reta de perfil p, cujos traços nos planos de projeção são os pontos H (– 3; 6; 0) e F, com 3 de cota;
– os traços do plano α intersetam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
– os traços do plano β intersetam o eixo x no ponto Y, com 9 de abcissa.

EXERCÍCIO dA AULA DE HOJE 11ºano

2013, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ .
Dados:
– o plano δ é vertical, contém o ponto M do eixo x com – 3 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
– o plano θ é de topo, contém o ponto N do eixo x com 3 de abcissa a faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.

EXERCÍCIO 51 - 2012, 1.ª Fase (código 708) - 11º ano

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω .
Dados:
− o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;
− o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
− a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x;
− o traço frontal da reta d tem 4 de cota;
− a reta h contém o ponto P (0; – 1; 7) e faz um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção.

FIGURAS existentes em Planos oblíquos - 11ºano

Grau de dificuldade superior: 
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no primeiro diedro.
Dados:
- os lados medem 4 cm;
- o lado [AB] pertence ao plano horizontal de projeção e o lado [BC] é de Perfil, estando B à esquerda de A;
- o ponto A tem 6 cm de afastamento;
- o ponto C tem 3 cm de cota e 0 de afastamento;

1992, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projeções de um hexágono regular, existente no primeiro diedro, cuja circunferência circunscrita tem de raio 4 cm e é tangente aos traços frontal e horizontal do plano oblíquo α a que pertence.
Dados:
–um vértice do hexágono está contido no traço horizontal de α;
–o plano α é perpendicular ao β24 e ao plano oblíquo δ e contém um ponto P no eixo x com –10 ( menos 10 )cm de abcissa;
–o plano δ contém os pontos X (0; 0; 0), Y (– 2; 0; 4) e Z (– 2; 1; 0).

Exercício de sólido 10ºano

Represente uma pirâmide pentagonal oblíqua de base horizontal, situada no primeiro diedro, sabendo que:
Dados:
– a base da pirâmide é um pentágono regular, cujo centro é o ponto O (2,5; 6; 7);
– o ponto A, com 2,5 de abcissa e 2,5 de afastamento, é um dos vértices da base;
– o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 2,5; 0).

EXERCÍCIO 31 do manual 10ºano

Determine as projeções de uma reta r, passante do Beta 1.3. cuja projeção horizontal faz um ângulo de 50º (a.d) - abertura à direita, com o eixo X, intersetando-o num ponto com 5 cm de abcissa.
  a) Determine as projeções da reta oblíqua s, paralela à reta r, cujo traço horizontal tem -3 cm de abcissa e -7 cm de afastamento.
  b) Determine ainda as projeções de uma reta g fronto-horizontal do Beta 2.4. concorrente com a reta s.

EXERCÍCIOS TIPO de revisão para o 1º teste de avaliação - 10ºano de

1: Desenhe as projeções dos seguintes pontos no espaço:
A (2; 5; 1), B (-3; 0; 6), C (0; 2; -2), D (-5; -5; 0), E (5; -4; -4); F(1; 7; -3) e G ( 5; -4; 6).
     a) iNDICA EM QUE ZONA DO ESPAÇO ELES SE SITUAM;
     b) Desenhe uma reta r sabendo que está definida pelos pontos B e G.
     c) Que tipo de reta é a reta r e quais são os diedros por onde passa.

2: É dada uma reta m, definida por dois pontos A(5; 6; 2) e B (-3; 2; -4);
     - Desenhe as projeções da reta m e determina todos os seus traços
     - Indica o percurso da reta, apenas no que aos diedros diz respeito.

3: Desenha as projeções de duas retas r e s, paralelas, sabendo que:
     - A reta r é oblíqua passante e contém o ponto R( -4; 4; 3);
     - A projeção horizontal da reta r faz um ângulo 45º abertura à direita (a.d.), com o eixo X.
     - A reta s contém o ponto S (0; -4; 2);
     3.a) Desenhe ainda uma reta n, horizontal (de nível) com 4 cm de cota, sabendo que esta reta n é concorrente com as retas r e s.

4: Desenha uma pirâmide quadrangular regular (no Iº diedro), sabendo que:
     - A base da pirâmide mede 5 cm de lado, sendo o ponto O (0; 6; 6) o centro da base;
     - O eixo da pirâmide é um eixo de topo, estando o vértice V no Plano Frontal de Projeção;
     - O ponto A (2; 6; 9) é o vértice com maior cota da base, e o ponto B está à direita de A.

Exercício 10 ano

exercício 9 da página 108 do manual.

Determine o traço da reta b no Beta 2.4., sabendo que é definida pelo ponto B (-4; 3; 1) e pelo seu traço frontal com 2 cm de abcissa e -7 cm de cota.

exercício 10

Determine os traços nos planos de projeção e nos bissetores da reta d,

definida pelos pontos L (0; 4; -1,5) e  M (5; 1,5; 4);

identifique os diedros em que a reta se localiza.

exercício 11

Determine os traços nos planos de projeção e nos bissetores da reta g,

definida pelos pontos N (-1,5; -4; 1) e  O (4; 1,5; 3);

exercício do professor

Determine as projeções de uma pirâmide hexagonal regular, com base paralela ao Plano Horizontal de Projeção (P.H.P.), sabendo que:

- O ponto O (0; 6,5; 2) é o centro da base.

- O lado AB é horizontal (de nível) e faz 15º abertura para a direita com o eixo X.

A pirâmide tem 6 cm de altura e os lados da base medem 4 cm.

11ºD - Exercícios da aula de hoje

1: Desenhe as projeções de uma pirâmide pentagonal regular com 4cm de lado de base paralela ao P.F.P. sabendo que:
- O ponto O com abcissa nula e 5cm de cota, pertencente ao Beta 1.3., é o centro da base do sólido;
- O vértice V pertence ao P.F.P.;
- O ponto A é o vértice de maior cota do pentágono da base, e tem a mesma abcissa do ponto O.
- O vértice B está à direita de A.

2: Determine um plano α perpendicular a uma reta m, sabendo que:

- A reta m contém o ponto M (0; 9; 3), é paralela ao Beta 1.3. e a sua projeção frontal faz 35º (a.e.);

- O plano α contém o ponto S (-3; -2; 6).

10ºE - EXERCÍCIOS DE CONSOLIDAÇÃO aula de hoje

Item 2: Represente duas retas frontais f e g, paralelas, sabendo que:

• Os pontos J ( 7; 7; 4 ), e K ( -2; 7; -5 ) pertencem à reta f.
• A reta g contém o ponto G ( -5; 4; 2 ).
• Determine o percurso da reta g no espaço e desenhe todos os seus pontos notáveis.