Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços
No seguimento do que foi explicado aqui e também aqui, sobre as condições de pertença de uma recta a um plano e de um ponto a um plano, proponho a realização de alguns dos meus exercícios sobre o assunto.
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.
1. Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A recta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as recta p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.
2. Um plano é definido por um ponto A e uma recta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A recta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A recta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projecção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respectivamente, ao beta 13 e ao beta 24.
Observação: Se o plano for definido por uma recta e um ponto exterior, há que desenhar outra recta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma recta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):
1. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).
2. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A recta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projecção frontal da recta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?
3. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano intersecta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.
1. Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A recta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as recta p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.2. Um plano é definido por um ponto A e uma recta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A recta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A recta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projecção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respectivamente, ao beta 13 e ao beta 24.
Observação: Se o plano for definido por uma recta e um ponto exterior, há que desenhar outra recta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma recta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):
1. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).
2. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A recta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projecção frontal da recta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?
Resposta: Obtemos uma recta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:
3. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano intersecta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).
Observação: Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.
4. Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abert. para a esquerda)
- O plano intersecta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projecções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros ímpares.
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abert. para a esquerda)
- O plano intersecta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projecções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros ímpares.
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