AULA de HOJE - 19 de JANEIRO - 10ºA - #79 e #80

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios Globais

Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços

No seguimento do que foi explicado proponho a realização de alguns dos meus exercícios sobre o assunto.
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.

EXERCÍCIO 1. Determina as projecções de duas retas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A reta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projeção frontal da reta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projeções frontal e horizontal da reta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as retas p e q definem um plano, determina as projeções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.

EXERCÍCIO 2. Um plano é definido por um ponto A e uma reta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A reta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A reta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projeção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projeções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respetivamente, ao beta 13 e ao beta 24.



Observação: Se o plano for definido por uma reta e um ponto exterior, há que desenhar outra reta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma reta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):

EXERCÍCIO 3. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).

EXERCÍCIO 4. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A reta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projeção frontal da reta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projeções frontal e horizontal da reta q fazem, respetivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas (0; 0; 0) e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?

Resposta: Obtemos uma reta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:

EXERCÍCIO 5. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respetivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano interseta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).

Observação: Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.

EXERCÍCIO 6. Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abertura para a esquerda)
- O plano interseta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projeções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projeção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissetor dos diedros ímpares.

AULA de HOJE - 15 de JANEIRO - 10ºA - #77 e #78

10ºA - 11:15 às 12:10

Sumário: Exercícios Globais

EXERCÍCIO 01 - adaptado de Exame 1997,  Prova Modelo (código 109)

Determine as projeções dos traços de um plano de rampa α e de um plano horizontal ν.

Dados:

– o traço frontal do plano de rampa α tem cota 8;

– o plano de rampa α contém a ponto A (3; 3; 4);

– o plano horizontal ν contém o ponto B (0; 9; 6).

EXERCÍCIO 02:

: Determine as projeções de um plano de rampa ψ sabendo que:

- O plano de rampa contém uma reta oblíqua a;

- A reta a contém o ponto A ( -2; 3; -6 ) e as suas projeções frontal e horizontal fazem, respetivamente, 30º (a.d) e 40º (a.d.) com o eixo X.

- Determine, ainda, as projeções de um ponto B existente no plano de rampa ψ , sabendo que o ponto B tem abcissa de 4 cm e cota igual a - 2 cm;      

EXERCÍCIO 03:

Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa, sabendo que
- o plano oblíquo contém a recta r
- a recta r é definida por A (0; 3; 2) e B (4; -4; 4)

- o traço frontal do plano plano oblíquo alfa faz, com o eixo X, um ângulo de 60º (a.e.)

- determine as projeções de um ponto P desse plano com cota igual a 2 cm

e afastamento igual a 6 cm.

EXERCÍCIO 04:

Exercício professor João

Determine a projeção de um triângulo ABC existente num Plano de rampa ψ, sabendo que:

- O Plano de rampa ψ é paralelo ao Beta 2.4. e o seu traço frontal tem 7 cm de cota;
- O lado AB do triângulo é fronto-horizontal, mede 6 cm e tem 2 cm de cota, estando o vértice B à direita de A;
- O Ponto C encontra-se numa abcissa intermédia entre os pontos A e B, e tem cota igual a 6 cm.

 

Exercício #01 - Pirâmide oblíqua

Represente uma pirâmide pentagonal oblíqua de base horizontal, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Dados

• a base da pirâmide é um pentágono regular, cujo centro é o ponto O (2,5; 6; 7);
• o ponto A, com 2,5 de abcissa e 2,5 de afastamento, é um dos vértices da base;
• o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 2,5; 0).

Proposta de resolução (2007 / 2.ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício #02 - Pirâmide oblíqua

Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada. 
Dados

• o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;
• a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
• o vértice B tem 2 de abcissa;
• o vértice C tem abcissa positiva;
• o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;
• a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2016 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício #03 - Interseções

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta h com o plano de rampa δ.
Dados:

• o plano δ contém o ponto A (0; 2; 9) e define um diedro de 60º com o Plano Horizontal de Projeção;
• o traço horizontal do plano tem afastamento negativo;
• a reta h é horizontal e contém o ponto M, do plano bissector dos diedros pares, β24, com zero de abcissa e 5 de afastamento;
• a reta h define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

Proposta de resolução (2025 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

AULA de HOJE - 13 de JANEIRO - 10ºA - #75 e #76

10ºA - 14:35 às 15:50 e 16:00 às 17:15

 Sumário: Continuação do estudo de reta e de Planos. Pontos e retas existentes em planos de rampa. Exercícios.

 EXERCÍCIO de AULA pirâmides Oblíquas

Represente uma pirâmide hexagonal oblíqua de base frontal,

situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados
– a base da pirâmide é um hexágono regular (situado num plano frontal), e tem como centro o ponto O (5; 5; 7);
– o ponto A é um dos vértices da base, tem 8 de abcissa e 3 de cota;
– o vértice da pirâmide é o ponto V (2; 11; 9).

Exercícios Globais - 10º ano

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS

EXERCÍCIO 02 - 2006, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projeções do ponto P, contido num plano.
Dados:
– β contém a reta frontal f;
– f contém o ponto A (– 2; 3; 3);
– A projeção frontal da reta f faz um ângulo de 45º com o eixo x (a.d.);
– O plano β interseta X num ponto com 4 de abcissa;
– O ponto P tem 5 de cota e pertence ao plano bissetor dos diedros pares.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS

EXERCÍCIO 03 - 2005, 1.ª Fase (código 409) 
Determine as projeções do ponto P, contido num plano.
Dados:
– o plano contém o ponto A (– 2; 5; 8) e o ponto B, pertencente ao plano bissetor dos diedros pares, com 4 de abcissa e 3 de cota;
– as retas frontais do plano fazem um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a esquerda);
– o ponto P pertence ao plano horizontal de projeção e tem 3 de afastamento.

AULA de HOJE - 13 de JANEIRO - 11ºA - #70 e #71

11ºA  - 10:20 às 12:10

 Sumário: - Exercícios de Sombras de Sólidos. Pirâmides.

EXERCÍCIO de AULA sombras de pirâmides

EXERCÍCIO 01 -

Represente uma pirâmide hexagonal regular de base frontal,

situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

- Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra

própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Dados
– a base da pirâmide é um hexágono regular (situado num plano frontal), e tem como centro o ponto O (5; 5; 7);
– o ponto A é um dos vértices da base, tem 8 de abcissa e 3 de cota;

EXERCÍCIO 02 - Sombras de sólidos

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine a sombra própria do sólido e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.

– a base [ABCD] está contida num plano horizontal;

– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 7 de afastamento;

- o vértice “A” da base tem 6 de abcissa e 6 de afastamento

– o vértice do sólido é o ponto V, com 1 de cota.

AULA de HOJE - 05 de JANEIRO - 10ºA - #72 e #73

10ºA - 11:20 às 13:10

 Sumário: - Exercícios Globais

Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços

No seguimento do que foi explicado, proponho a realização de alguns exercícios sobre o assunto.
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.

1. Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A recta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as recta p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.

2. Um plano é definido por um ponto A e uma recta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A recta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A recta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projecção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respectivamente, ao beta 13 e ao beta 24.



Observação: Se o plano for definido por uma recta e um ponto exterior, há que desenhar outra recta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma recta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):

3. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).

4. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A recta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projecção frontal da recta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?

Resposta: Obtemos uma recta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:

5. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano intersecta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).

Observação: Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.

6. Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abert. para a esquerda)
- O plano intersecta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projecções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros ímpares.

AULA de HOJE - 08 DE JANEIRO - 11ºA

AULA de HOJE - 08 DE JANEIRO - 11ºA

 11ºA - 08.15 às 10.05

 EXERCÍCIO 03

Determine a sombra de um pentágono de perfil ABCDE

sabendo que;

- O Ponto O ( 0; 5; 5 ) é o centro do pentágono que está inscrito numa circunferência com 3,5 cm de raio;

- O lado AB é de topo sendo A e B os pontos de maior cota do pentágono.

AULA de HOJE - 06 DE JANEIRO - 11ºA

 11ºA - 10.20 às 12.10

Sumário: iNTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SOMBRAS.

EXERCÍCIO 01 - Sombra de um Quadrado - Baseado em 2006, 2.ª Fase (código 408)

Represente um quadrado, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do quadrado e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Dados:

– o centro do quadrado é o ponto O (0; 6; 6);

– o ponto A (3,5; 8; 6) é um dos vértices da base [ABCD].

EXAME 2023 item 02 - 1º Fase

Determine as projeções de um retângulo [RSTU], contido

no plano θ, e da sua sombra própria e projetada nos planos de projeção.

 Dados: 

− o plano θ tem traços coincidentes, e o seu traço frontal define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x; 
− o vértice R, com zero de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13; 
− o lado [ST] pertence ao Plano Horizontal de Projeção; 
− as diagonais do retângulo medem 9 cm; 
− a direção luminosa é a convencional

AULA de HOJE - 05 de JANEIRO - 10ºA - #69 e #70

 10ºA - 08:15 às 10:05

 Sumário: - Exercícios Globais

EXERCÍCIO 01 - SÓLIDOS: Professor João

- Determine as projeções de um prisma hexagonal oblíquo

sabendo que:

- As base do prisma são de perfil e medem 3 cm de lado;
- O Ponto O ( 6; 4; 5 ) é o centro da base de maior abcissa

do prisma, que possui dois lados verticais;
- A outra base possui um vértice com cota nula;
- O prisma tem 6 cm de altura e o eixo é frontal.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 02 - 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109) 

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α.
Dados:
– o plano oblíquo α é definido por três pontos, A, B e C;
– os pontos A e B pertencem ao bissetor dos diedros ímpares;
– A tem 4 de abcissa e 4 de afastamento;
– B tem abcissa nula e – 4 de cota;
– o ponto C pertence ao bissetor dos diedros pares

e tem – 4 de abcissa e 4 de cota.

AULA de HOJE - 09 de DEZEMBRO - 10ºA - #51 e #52

10ºA - 14:35 às 15:50 e 16:00 às 17:15

 Sumário: - Alfabeto do Plano.

 Sumário: Continuação do estudo de reta e de Planos. Pontos e retas existentes em planos de rampa. Exercícios.

                vídeo aula 07 - Retas e pontos pertencentes a Planos de rampa 

EXERCÍCIO - para entregar até ao final da aula de hoje

- 1999, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)

Represente, pelas suas projeções, a reta oblíqua r, contida

no plano de rampa ρ.

Dados:

– o plano de rampa ρ contém o ponto P (– 6; 3; 4) e o seu traço horizontal tem 9 de afastamento;

– o traço frontal da reta r tem 4 cm de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45º (a.d.).

BOM TRABALHO

JS