EXERCÍCIO 01: Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:

- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º

(o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abertura para a esquerda)
- O plano interseta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projeções da reta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projeção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo X
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano

e ao plano bissetor dos diedros ímpares (Beta1.3.).

EXERCÍCIO 02 - 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projeções da reta r, contida no plano oblíquo α, sabendo que:
– os traços frontal e horizontal do plano α intersetam-se num ponto com – 4 cm de abcissa

e fazem ângulos de 45º com o eixo X, ambos de abertura para a esquerda;

– a reta r contém o ponto R, com 3 cm de afastamento e 4 cm de cota;
– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 60º com o eixo X (abertura para a direita).

EXERCÍCIO 03  1998, Prova Modelo (código 109)
Determine os traços do plano de rampa ρ, que contém a reta oblíqua r, sabendo que,
– a reta r passa pelo ponto A (5; 2; 8);
– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45º com o eixo X (abertura para a esquerda);

– a reta r contém o ponto I do Beta 2.4. com cota –7 cm e afastamento 7 cm.

EXERCÍCIO 04   

Determine as projeções de um prisma quadrangular oblíquo de bases horizontais sabendo que:
- O ponto A (3; 0; 2) e o ponto B, com -1 cm de abcissa e 2,5 cm de afastamento, definem a aresta de menor afastamento da base ABCD;
- As arestas laterais do prisma pertencem a retas cujas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo X, ângulos de 45º (a.d.) e 60º (a.d.), respetivamente;
- O prisma tem 5 cm de altura;

 

EXERCÍCIO de AULA  pirâmides Oblíquas

Represente uma pirâmide hexagonal oblíqua de base frontal,

situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados
– a base da pirâmide é um hexágono regular (situado num plano frontal),

e tem como centro o ponto O (5; 5; 7);
– o ponto A é um dos vértices da base, tem 8 de abcissa e 3 de cota;
– o vértice da pirâmide é o ponto V (2; 11; 9).

EXERCÍCIO de AULA  pirâmide quadrangular Oblíqua

Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua de base horizontal,

situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados
– a base da pirâmide é um quadrado situado no plano horizontal de projeção que tem como centro o ponto O (5; 5; 0);

– o ponto A é um dos vértices da base, tem 7 de abcissa e 7,5 de afastamento;
– o vértice da pirâmide tem a mesma abcissa do ponto da base de menor abcissa, tem 11 cm de cota e existe no Plano Frontal de Projeção.

EXERCÍCIO de AULA  definição de traços de um plano Oblíquo.

03. Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa,
definido por um ponto A (4; 2; 8) e por uma recta de perfil p, que contém
os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).

AULA de HOJE - 29 de JANEIRO - 11ºA

 11ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios de Consolidação.
Continuação do estudo de sombras.

Simulação de Teste de avaliação.

Item 1: Determine as projeções da reta de interseção i dos planos α e β
sabendo que:
·      O plano α é definido pela reta de maior declive d;
·      A reta d contém o ponto H ( 0; 3; 0 );
·      As projeções horizontal e frontal da reta d fazem, com o eixo X, ângulos de 45º (a.e);
·      O plano β é oblíquo, interseta o eixo X no ponto N com -6 cm de abcissa;
·      Os traços horizontal e frontal do plano β, fazem com o eixo X, ângulos respetivamente

iguais a 45º e 70º de abertura para a esquerda.

Item 2:   Desenhe as projeções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo  β.

- Os traços horizontal e frontal do plano  β fazem, respetivamente com o eixo X, ângulos de 60º e 45º, ambos com abertura para a direita e intersetam-se na origem das coordenadas;

- O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota;

- O vértice B tem cota nula e 6 de afastamento.

Item 3:  Determine as projeções de um cilindro oblíquo sabendo que:
– O ponto O (0; 7; 6) é o centro da circunferência com 3,5cm de raio de uma das bases do cilindro;
– O eixo do cilindro é horizontal e faz um ângulo de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção;
– O outra base do cilindro pertence ao Plano Frontal de Projeção;
Determine, ainda, a interseção e os respetivos pontos de entrada e saída de uma reta r  do Beta 1.3. neste cilindro, sabendo que:
- Os traços da reta r têm abcissa igual a -4 cm.;

- A reta oblíqua passante r faz 50º (a.e.) na sua projeção frontal.    

Item 4:  Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base regular contida num plano de perfil e situada no 1.º diedro.

Dados:

- Os pontos A (0; 0; 3) e B (0; 4; 0) são dois dos vértices da base [ABCD] da pirâmide;

- a aresta lateral [AV] é fronto-horizontal;

- o vértice V tem –10 de abcissa;

- a direção luminosa é a convencional               

AULA de HOJE - 27 de JANEIRO - 10ºA

10ºA - 14:35 às 17:15

Sumário: Exercícios Globais

Exercício 01

Determine a  projeção de um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1.º diedro.
Dados

• o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
• o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
• o ponto O’, centro da outra base, tem 4,5 de cota;
• o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projeção;

AULA de HOJE - 27 de JANEIRO - 11ºA

  11ºA - 10:20 às 12:10

Sumário: Exercícios de Consolidação.
Continuação do estudo de sombras.

Simulação de Teste de avaliação.

Exercício 02

Determine a sombra própria e a sombra real nos planos de projeção, de um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1.º diedro.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do cilindro.
Dados

• o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
• o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
• o ponto O’, centro da outra base, tem 4,5 de cota;
• o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projeção;
• a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2011 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

 

Exercício EXAME 2024

Determine as projeções de um prisma oblíquo de bases regulares hexagonais e das suas sombras, própria e projetada nos planos de projeção.
Dados

• as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
• a diagonal [AD] da base [ABCDEF] é vertical e mede 6 cm;
• o vértice A tem 5 de abcissa e 3 de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
• o prisma tem 6 cm de altura;
• as arestas laterais são paralelas ao plano bissector dos diedros ímpares, β13, e as projeções das retas que as contêm definem ângulos de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
• a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2024 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício de Exame 
- 2015 - 1ª fase (código 708)
Determine as projecções de um prisma oblíquo de bases regulares frontais, situado no primeiro diedro, e das suas sombras, própria e projectada nos planos de projecção.
Dados:
- o ponto A (0; 0; 0) e B (-3; 0; 5) são vértices consecutivos do quadrado [ABCD] de uma das bases do prisma;
- as projecções horizontais e frontais das rectas que contêm as arestas laterais do prisma formam ângulos de 55º e 35º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
- o prisma tem 3cm de altura;
- a direcção luminosa é a convencional

AULA de HOJE - 19 de JANEIRO - 10ºA - #84 e #85

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios Globais

 EXERCÍCIO de Definição de uma reta de perfil

Determine as projeções de uma reta de perfil passante p sabendo que:
A reta de perfil passante p contém o ponto R ( -7,5; -5 ).
Determina as projeçõe

s de um ponto S da reta p com 6 cm de cota.
Indica quais os diedros que esta reta atravessa.

 EXERCÍCIO de EXAME

Determine as projeções de três planos α, δ e β .

Dados: −

− o plano α é definido pelos seus traços e contém o ponto A (0; 6; – 3);

− o traço horizontal do plano α define um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

− o traço frontal do plano α define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

− o plano δ, de rampa, é perpendicular ao plano bissector dos diedros pares, β24, e o seu traço frontal tem 5 de cota.

- o Plano β é passante e está definido por uma reta fronto-horizontal s com cota e afastamento iguais a menos 6 cm

    (página 147 do manual )

.

AULA de HOJE - 22 de JANEIRO - 10ºA - #83 e #84

10ºA - 11:20 às 13:10

Sumário: Exercícios Globais - Sólidos

Item 1: Determine as projeções de um prisma octogonal regular,

sabendo que;

· O centro da base é o Ponto O ( 0; 6; 2 );

· O ponto A ( 1; 1,5, 2 ) é um dos vértices do Prisma;

· O prisma mede 6 cm de altura.

a) Desenhe, ainda, as projeções de uma semi-esfera

com raio igual a 3 cm, e centro no Ponto O', ( 0; 6; 8 )  

Item 2: Determine as projeções de um cone oblíquo

de base horizontal,

sabendo que;

· O centro da base é o Ponto O ( 0; 6; 2 );

· A base tem 3,5 cm de raio;

· O ponto V ( 5; 1,5, 10 ) é o vértice do Cone;

 

AULA de HOJE - 22 de JANEIRO - 11ºA

  11ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios de Consolidação.
Continuação do estudo de sombras.

Prismas regulares e oblíquos.

 

EXERCÍCIO 01 - Sombra de Prisma Quadrangular
Represente um prisma quadrangular regular, situado no primeiro diedro e com uma das bases, [ABCD], paralela ao plano horizontal de projeção, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e a sua sombra real nos planos de projeção.

Dados:
– o vértice A tem abcissa nula e 2 de afastamento;
– o vértice B tem 5,5 de abcissa e 3 de afastamento;
– a altura do prisma é 4 cm e a base ABCD tem 2 de cota.

vídeo 01) Dados de PRISMA TRIANGULAR oblíquo

TRABALHO

Executa o prisma do exercício vídeo aqui apresentado.

Os dados do exercício estão indicados no topo esquerdo do vídeo.

Executa, ainda, as sombras próprias e projetadas do sólido, utilizando o foco luminoso convencional.

IMPORTANTE
- Antes da realização das sombras Própria e Projetada de Prismas Oblíquos, deve ser executada uma construção auxiliar para determinação de um Plano Tangente Separatriz ao sólido.
Esse Plano é definido por uma reta l (luz convencional) concorrente com uma reta g (geratriz). 

VÍDEO - Determinação dos Planos tangentes Luz/Sombra em Prisma de bases frontais

EXERCÍCIO Tipo - SOMBRA de PRISMA OBLÍQUO

Represente um prisma triangular oblíquo de bases regulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Dados:

– as bases do prisma são frontais;

– o ponto O (-2; 0; 3) é o centro da circunferência de raio igual a 3 cm que circunscreve o triângulo ABC que é a base de menor afastamento do prisma;

- O segmento AB dessa base é paralelo ao eixo X e tem cota menor que o vértice C;

– o ponto O´(5; 4; 4) é o centro da circunferência que circunscreve a outra base.

vídeo 02) sombra de PRISMA TRIANGULAR oblíquo

Exercício de Exame 
- 2015 - 1ª fase (código 708)
Determine as projecções de um prisma oblíquo de bases regulares frontais, situado no primeiro diedro, e das suas sombras, própria e projectada nos planos de projecção.
Destaque, a traço mais forte, as projecções do prisma e as linhas invisíveis da sombra projectada nos planos de projecção e, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólidos e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projectada.
Dados:
- o ponto A (0; 0; 0) e B (-3; 0; 5) são vértices consecutivos do quadrado [ABCD] de uma das bases do prisma;
- as projecções horizontais e frontais das rectas que contêm as arestas laterais do prisma formam ângulos de 55º e 35º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
- o prisma tem 3cm de altura;
- a direcção luminosa é a convencional

BOM TRABALHO

JS

AULA de HOJE - 20 de JANEIRO - 10ºA - #81 e #82

10ºA - 14:35 às 17:15

Sumário: Exercícios Globais

Item 1: Determine as projeções de um plano oblíquo δ, definido por
três pontos A, B e C sabendo que;

· O ponto A pertence ao P.F.P, tem 7 cm de cota e abcissa nula;

· O traço frontal do plano δ faz 40º (a.d.);

· Os pontos B e C possuem, ambos, 3 cm de cota, e abcissas

de 6 cm e 3 cm, respetivamente;

· O ponto C tem 6 cm de afastamento.

Item 2: Determine as projeções de uma reta frontal f e uma reta horizontal n de um plano sabendo que:
- O plano contém duas retas c e d, concorrentes
no ponto Q ( 0; 0; 0 ).
·  A reta c contém o ponto C ( 2; -2; 2 ).
·  A reta d contém o ponto D ( 9; 3; 3 ).
·  A reta frontal f tem afastamento nulo e a reta
horizontal n tem cota nula.

 Item 3: Determine as projeções de uma pirâmide

hexagonal regular de base frontal, sabendo que:
- O (0; 3; 5) é o centro do hexágono da base, que está

inscrito numa circunferência com 5 cm de raio;
- Os lados BC e EF da base são fronto-horizontais;
- A pirâmide mede 7 cm de altura;                                       

AULA de HOJE - 19 de JANEIRO - 10ºA - #79 e #80

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios Globais

Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços

No seguimento do que foi explicado proponho a realização de alguns dos meus exercícios sobre o assunto.
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.

EXERCÍCIO 1. Determina as projecções de duas retas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A reta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projeção frontal da reta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projeções frontal e horizontal da reta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as retas p e q definem um plano, determina as projeções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.

EXERCÍCIO 2. Um plano é definido por um ponto A e uma reta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A reta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A reta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projeção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projeções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respetivamente, ao beta 13 e ao beta 24.



Observação: Se o plano for definido por uma reta e um ponto exterior, há que desenhar outra reta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma reta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):

EXERCÍCIO 3. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).

EXERCÍCIO 4. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A reta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projeção frontal da reta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projeções frontal e horizontal da reta q fazem, respetivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas (0; 0; 0) e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?

Resposta: Obtemos uma reta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:

EXERCÍCIO 5. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respetivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano interseta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).

Observação: Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.

EXERCÍCIO 6. Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abertura para a esquerda)
- O plano interseta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projeções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projeção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissetor dos diedros ímpares.