EXERCÍCIO #01 - Reta interseta Prisma Pentagonal Oblíquo

- Determine as projeções de um Prisma Pentagonal oblíquo com 8 cm de altura, sabendo que:
- O Ponto O ( 0; 3,5; 1,5 ) é o centro da base de menor cota do Prisma;
- O Ponto A ( -3,5, 3,5 , 3,5 ) é um dos vértices da base;
- As arestas laterais do sólido fazem 25º abertura à esquerda na sua projeção horizontal, e fazem 50 º abertura à esquerda na sua projeção frontal;
-  Determine, ainda os Pontos X e Y de entrada e saída da reta r no sólido;
- A reta r é oblíqua passante, encontra a linha X num ponto com a mesma abcissa do Centro da base de maior cota;
- As suas projeções frontal e horizontal da reta r fazem, respetivamente, 35º abertura à direita e 45º abertura à direita, respetivamente.

EXERCÍCIO tipo 01 - INTERSEÇÃO DE PLANOS EXAME - 2004, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projeções da reta i, de interseção do plano vertical delta com o plano oblíquo β.
Dados:
– o plano vertical delta; contém o ponto A (2; 2; 3), e o seu traço horizontal faz um
ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
– os traços do plano oblíquo β intersetam-se num ponto com – 4 de abcissa;
– o traço horizontal do plano β faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda; o traço frontal do plano β faz um ângulo de 45º com o mesmo eixo, de abertura para a direita.

EXERCÍCIO tipo 02 - Os Pontos A e Hi do exercício anterior são vértices de um triângulo equilátero ABH existente num Plano de rampa PI; Determine as suas projeções.

EXERCÍCIO TIPO 01 obrigatório:

Determine as projeções da reta i de interseção dos planos oblíquos Alfa e Beta, sabendo que;

- Os traços horizontal e frontal do plano Alfa fazem, com o eixo X, 40º (a.e.) e 60º (a.d.) respetivamente, e são concorrentes no ponto de abcissa nula;

- O traço frontal do plano Beta é paralelo ao traço horizontal do plano Alfa;

- O plano Beta contém o ponto R (0; 2,5; 2) de uma reta r cujas projeções frontal e horizontal são perpendiculares às projeções frontal e horizontal do plano Alfa.

AULA de HOJE - 18 de NOVEMBRO - 10ºA - #46 e #47

10ºA - 08:15 às 10:05

 Sumário: Continuação do estudo de reta e de Planos. Exercícios.

01: Exercício de Exame 2003, 2.ª Fase (código 409)

Determine as projeções da reta d, sabendo que

Dados:

– a reta d contém um ponto D com 2 de abcissa;

– a projeção frontal da reta faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);

– a reta d contém o ponto P (– 4; 3; 4) e a sua projeção horizontal faz 60º de abertura para a esquerda.

- DETERMINE TODOS os seus Pontos notáveis e o percurso da reta no espaço.

EXERCÍCIO 02: Represente as projeções da reta c, sabendo que: 

- A reta c contém um ponto C ( -2; 3; -6 );

- A sua projeção frontal faz 30º (a.d) e a sua projeção horizontal faz 60º (a.d.);

- Desenhe as projeções de uma reta b, paralela à reta c, que passe no ponto B (4; 8; 2);

- Indica quais os diedros que a reta b atravessa? 

EXERCÍCIO 03:

Desenha uma pirâmide quadrangular regular (no Iº diedro), sabendo que:

- A base da pirâmide mede 5 cm de lado, sendo o ponto O (0; 6; 6) o centro da base;
- O eixo da pirâmide é um eixo de topo, estando o vértice V no Plano Frontal de Projeção;
- O ponto A (2; 6; 9) é o vértice com maior cota da base, e o ponto B está à direita de A.

AULA de HOJE - 17 DE NOVEMBRO - 11ºB

 11ºA - 15.40 às 16.30

Sumário: PROJEÇÃO DE SÓLIDOS. Cones e cilindros oblíquos.

Retas e seus pontos de entrada e saída em cilindros oblíquos.

Retas que intersetam CILINDROS

Tipo 03:  #01  - Determine as projeções de um cilindro oblíquo de 6,5 cm de altura,
sabendo que:

Dados:
– o ponto O com 6 cm de afastamento é centro da base de menor cota do cilindro, e

pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
– o eixo do sólido é frontal e faz 60º (a.e) com o P.H.P.;

– as bases têm 4 cm de raio.

Determine, ainda, a interseção e os respetivos pontos de entrada e saída de

uma reta de nível n com 4 cm de cota com o sólido, sabendo que:

- O traço frontal de da reta n existe na mesma abcissa do ponto mais à direita do sólido;

- A reta faz 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projeção.     

            vídeo a)

Apresentação a) - Exemplo de um cilindro oblíquo de bases horizontais

Apresentação (audio)visual  - Exemplo de cilindro oblíquo de bases horizontais 
autoria de Jose H. Oliveira

EXERCÍCIO para aula - Exame de 2003 - 2ª fase

Determine as projeções de um cilindro oblíquo sabendo que:
Dados
– o ponto O (0; 4; 7,5) é o centro da circunferência com 3,5cm de raio de uma das bases do cilindro;
– as geratrizes do cilindro são horizontais e fazem um ângulo de 60º de abertura para a direita com o plano frontal de projeção;
– a outra base do cilindro pertence ao plano frontal de projeção;

Adaptado de EXAME 2018 - 3. Determine as projeções de um cilindro oblíquo, de bases circulares contidas em planos horizontais, situado no 1.º diedro
 Dados:
− o ponto O (2; 3; 0) é o centro da circunferência, com 3 cm de raio, da base de menor cota;
− o eixo do cilindro é paralelo ao β1.3., e a sua projeção horizontal define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo X;
− a altura do cilindro é 6 cm; 

Adaptado de EXAME 2023 - 2a fase

Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta r e à superfície de um cilindro oblíquo de bases contidas em planos frontais.

Destaque, a traço mais forte, as projeções da reta e do sólido.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e das projeções da reta.
Dados

• o Ponto A da base, com zero de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
• o Raio das bases medes 4 cm e o centro O da base de menor cota tem - 3 cm de abcissa 
• o prisma tem 6 cm de altura;
• as arestas laterais são horizontais e definem ângulos de abertura para a direita com o Plano Frontal de Projeção;
• as arestas laterais do prisma medem 8 cm;
• a reta r é oblíqua, definida pelo ponto P (–6; 6; 9) e pelo seu traço horizontal com 3 de abcissa e 4 de afastamento.

EXERCÍCIO DE INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO;
EXERCÍCIO :
Determine o ponto I de interseção entre a reta horizontal n e o plano oblíquo ρ sabendo que:
- O plano oblíquo ρ contém os pontos
A ( 7; -4; -7 ), B ( 1; -2; 2 ), e C ( 0; 0; 0).
- A reta horizontal n contém o ponto
N ( 7; 4; 8 ) e faz 55º (a.e.) com o P.F.P..

 01 - EXERCÍCIO Tipo 03 de teste: Professor João

- Determine as projeções de um prisma hexagonal oblíquo sabendo que:

- As base do prisma são de perfil e medem 3 cm de lado;
- O Ponto O ( 6; 4; 5 ) é o centro da base de maior abcissa do prisma, que possui dois lados verticais;
- A outra base possui um vértice com cota nula;
- O prisma tem 6 cm de altura e o eixo é frontal.

 02 - EXERCÍCIO Tipo 01 de teste: Professor João

Desenhe as projeções de três retas concorrentes a, b e c sabendo que:

- A reta a é fronto-horizontal e contém o ponto A ( -6; 6; 6, ).

- A reta b é oblíqua passante, contém o ponto A e as suas projeções frontal e horizontal fazem ambas 30⁰ abertura à esquerda (a.e.) com o eixo X;

- A reta c é concorrente com a reta a num ponto com abcissa igual a

3 cm, e a sua projeção frontal faz 45º (a.d) com o eixo X.          

 03 - EXERCÍCIO Tipo 04 de teste: Professor João

Represente uma pirâmide pentagonal oblíqua de base horizontal,

situada no primeiro diedro, sabendo que:
Dados:
– a base da pirâmide é um pentágono regular, cujo centro é o

ponto O (2,5; 6; 7);
– o ponto A, com 2,5 de abcissa e 2,5 de afastamento, é um

dos vértices da base;
– o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 2,5; 0).

 04 - EXERCÍCIO Tipo 02 de teste:

Determine as projeções do ponto I, traço da reta horizontal b

no plano bissetor dos diedros pares (Beta 2.4.);

Dados:
− a reta b contém P (− 7; 7; − 2);
− a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x;
− determine, ainda, uma reta oblíqua r que contém o ponto R (3; 6; 3) e é concorrente com a reta b no Ponto I .       

AULA de HOJE - 13 de NOVEMBRO - 10ºA - #44 e #45

10ºA - 11:20 às 13:10

 Sumário: - Alfabeto do Plano.

O alfabeto do plano é o conjunto das posições genéricas que um plano pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se essas posições, assim como posições particulares que alguns planos podem ter. Mostra-se que retas podem existir em cada plano e como se marcam pontos nos planos. Ainda se apresentam modos diversos de definir os planos

1. Plano Horizontal 

2. Plano Frontal

3. Plano de Topo

4. Plano Vertical 

5. Plano de Perfil

6. Plano de Rampa

7. Plano Passante

8. Plano Oblíquo

 

1 - Plano horizontal 

O plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano frontal de projeção. Tem apenas traço frontal. Este plano é projetante frontal, uma vez que as figuras que ele pode conter ficam projetadas frontalmente no seu traço.Designam-se por traços as retas onde os planos cruzam os planos de projeção.

 

2 - Plano frontal

O plano frontal é paralelo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de projeção. Tem apenas traço horizontal. Este plano é projetante horizontal, dado que as figuras que ele pode conter ficam projetadas horizontalmente no seu traço.

3 - Plano de topo

O plano de topo é perpendicular ao plano frontal de projeção e oblíquo ao plano horizontal de proje-ção. Tem dois traços. Este plano é projetante frontal, pois todas as figuras que nele existam ficam projetadas frontalmente no seu traço frontal.

 4 - Plano vertical

 O plano vertical é oblíquo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de projeção. Tem dois traços. Este plano é projetante horizontal, já que todas as figuras que ele pode conter ficam projetadas horizontalmente no seu traço horizontal.

 

5 - Plano de perfil

O plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção. Tem dois traços. Este plano é dupla-mente projetante, o que significa que todas as figuras que nele estiverem contidas ficam projetadas em ambos os seus traços.

6 - Plano de rampa

O plano de rampa é oblíquo aos dois planos de projeção e paralelo ao eixo x. Tem dois traços. Este plano não é projetante.

 

  7 - Plano Passante

O plano passante interseta ambos os planos de Projeção no eixo x. Tem os seus dois traços coincidentes e também coincidentes na linha X. Este plano não é projetante.

 vídeo de Plano Passante

 

 

 

 8 - Plano oblíquo

O plano oblíquo é oblíquo aos dois planos de projeção e oblíquo ao eixo x. Tem dois traços. Este plano não é projetante.

 

 

Sumário: Exercícios aula:

Sólidos

Exercício #03  Exame GDA 2023 - 2a fase - ADAPTADO

Determine as projeções de um prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos frontais.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido.
Dados

• o vértice A da base [ABCD], com zero de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
• a aresta [AB] é frontal e define um ângulo de 15º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção;
• as arestas das bases medem 6 cm;
• o prisma tem 6 cm de altura;
• as arestas laterais são horizontais e definem ângulos de abertura para a direita com o Plano Frontal de Projeção;
• as arestas laterais do prisma medem 8 cm;

Proposta de resolução (2023 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício #03 SÓLIDO - Pirâmide

Determine as projeções de uma pirâmide pentagonal oblíqua
situada no Iº diedro sabendo que:
·      A base [ABCDE] está contida num plano horizontal α;
·      O ponto O ( 5; 5; 9 ) é o centro dessa base do sólido;
·      O vértice A da base do pentágono está no plano frontal de projeção e pertence
a uma reta de topo t, que contém o ponto O;
·      A pirâmide tem 7 cm de altura;
O eixo da pirâmide é frontal, e faz 60º (a.e.) com o eixo X;

AULA de HOJE - 11 de NOVEMBRO - 11ºA - #46 e #47

11ºA - 10:20 às 12:10

Sumário: Exercícios aula:

Exames Nacionais

Revisões para a prova de avaliação

Exercício #03  Exame GDA 2023 - 2a fase

Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta r e à superfície de um prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos frontais.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da reta e do sólido.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e das projeções da reta.
Dados

• o vértice A da base [ABCD], com zero de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
• a aresta [AB] é frontal e define um ângulo de 15º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção;
• as arestas das bases medem 6 cm;
• o prisma tem 6 cm de altura;
• as arestas laterais são horizontais e definem ângulos de abertura para a direita com o Plano Frontal de Projeção;
• as arestas laterais do prisma medem 8 cm;
• a reta r é oblíqua, definida pelo ponto P (–6; 6; 9) e pelo seu traço horizontal com 3 de abcissa e 4 de afastamento.

Proposta de resolução (2023 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício #01 Exame GDA 2009 - 2a fase

Determine as projeções da reta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados

• o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
• os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respetivamente, ângulos de 50º (a.d.) e de 30º (a.d.) com o eixo x;
• o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

Proposta de resolução (2009 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

 EXERCÍCIO 01 Exame 2024 - 2a fase:

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide reta de base regular triangular [ABC].

Dados: − o ponto O (3; 6; 2) é o centro do triângulo da base contida num plano horizontal;
− o vértice A tem zero de abcissa e 10 de afastamento;
− a pirâmide tem 9 cm de altura;

AULA de HOJE - 27 de OUTUBRO - 10ºA - #39 e #40

10ºA  - 11:20 às 13:10

Sumário: Continuação da introdução ao estudo da Geometria

Retas existentes em Planos de projeção ou nos Betas.

- Desenha as projeções de uma reta f frontal existente no P.F.P. 

sabendo que os pontos A ( 0; 0; 6 ) e B ( 5; 0; 2 ) pertencem à reta.

- Desenha as projeções de uma reta t de topo existente no chão (P.H.P.) 

com abcissa igual a -1 cm.

- Desenha as projeções de uma reta l horizontal que contém

o ponto L ( 6; 2; 0 ) e faz 60º (a.e.)

- Desenha as projeções de uma reta v vertical, existente

no Plano Frontal de Projeção com abcissa igual a 4 cm.

- Desenha as projeções de uma reta u pertencente ao Beta 1.3., que faz

30º (a.e.) na sua projeção horizontal no Ponto X ( 0; 0; 0 ). 

AULA de HOJE - 06 de OUTUBRO - 11ºA - #39 e #40

 11ºA - 08:15 às 10:05

Sumário: Exercícios aula:

Exames Nacionais

Item 1: Determine as projeções do ponto I, traço da reta b no plano bissetor dos diedros pares.
Dados: − a reta b é paralela ao plano δ;
− a reta b contém P (− 7; 7; − 2);
− a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x;
− o plano δ está definido pelos pontos R (3; 6; 3), S (0; 6; 5)

e T (− 3; 1; 5)
        

( 50 pontos )

Item 2: Determine as projeções de um quadrado do primeiro diedro contido num plano α.
Dados:
– o quadrado tem 6 cm de lado;
– o ponto A (0; 5; 0) é um dos seus vértices e o vértice B pertence ao plano frontal de projeção;
– o traço horizontal do plano α faz com o eixo x, um ângulo de 60 de abertura para a direita e a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos traços do plano α é de 75º.

(50 pontos)

Item 3: Desenhe as projeções do sólido resultante da seção produzida por um plano vertical ϴ num cubo com duas bases de perfil, sabendo que:
- O quadrado [ABCD] é a face de perfil mais à esquerda,
sendo A ( 1; 1,5; 3 ) e C ( 1; 9; 5) dois vértices opostos do quadrado.
- O plano vertical ϴ faz 55º (a.e.) e interseta o eixo X num ponto com -3,5 cm de abcissa.
- O sólido resultante da secção fica compreendido entre o plano ϴ e o P.F.P..     

(50 pontos)