Informações-Exame 2009-2010!

Já se encontram disponíveis as informações relativas aos exames que se irão realizar no corrente ano lectivo.
Estão na página do GAVE em http://www.gave.min-edu.pt/np3/276.html


Para a "nossa" Geometria, todas as informações estão aqui em PDF para consulta
INFORMAÇÕES EXAME GEOMETRIA => AQUI 
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Boas Festas

Instalação criada em conjunto com os alunos de Educação Tecnológica do professor Luís Sequeira

Exercícios Excelentes para estudar para o teste de amanhã ( 10º B )!!

Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços

No seguimento do que foi explicado aqui e também aqui, sobre as condições de pertença de uma recta a um plano e de um ponto a um plano, proponho a realização de alguns dos meus exercícios sobre o assunto.
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.

1. Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A recta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as recta p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.
Observação: a recta h pertencerá ao plano se contiver dois pontos desse plano: os pontos R e Q, respectivamente pertencentes às rectas p e q que definem o plano. O ponto A pedido pertencerá ao plano se estiver contido na recta horizontal determinada.
2. Um plano é definido por um ponto A e uma recta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A recta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A recta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projecção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respectivamente, ao beta 13 e ao beta 24.



Observação: Se o plano for definido por uma recta e um ponto exterior, há que desenhar outra recta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma recta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).
Ainda de acordo com o que foi explicado anteriormente, aqui e aqui também, podemos resolver os seguintes exercícios (um deles de Exame nacional):

1. Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano alfa com o eixo x, sabendo que:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)
(Exame nacional de 2002, 1º Fase, 2ª Chamada - Desenho e Geometria Descritiva B, código 409 - consulte aqui mais exercícios de exame sobre o plano oblíquo).
2. Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A recta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projecção frontal da recta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?

Resposta: Obtemos uma recta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:

3. Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano intersecta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).

Observação: Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.

4. Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abert. para a esquerda)
- O plano intersecta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projecções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros ímpares.

Verdadeiras Grandezas - 11ºano - Problemas métricos ( Distâncias )

Problemas métricos - Distâncias nos exames nacionais de Geometria Descritiva

1. Exame 2002 – 1ª fase 2ª Chamada (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d do ponto P ao plano oblíquo alfa.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o plano alfa intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, ambos, ângulos de 45º (de abertura para a direita) com o eixo x.

2. Exame 2003 – 2ª fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d do ponto P à recta de frente f.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o traço horizontal H da recta f tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
- a recta faz um ângulo de 30º (de abertura a direita) com o plano horizontal de projecção, medido no 1º diedro.

3. Exame 2004 – 1ª fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I pelas suas projecções.
Dados:
- o segmento de recta [HI] está contido numa recta de perfil p, que é definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota
- o ponto H é o traço horizontal da recta p
- o ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com e eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita), intersectando-o num ponto com 5 de abcissa.

4. Exame 2004 – 2ª fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d entre os planos paralelos alfa e beta.
Dados:
- o plano alfa contém uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projecção no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projecção horizontal faz um ângulo de 60º (de abertura a direita) com o eixo x;
- o plano beta contém uma recta obliqua b, cujos traços nos planos de projecção são os pontos Hb (3; 4; 0) e Fb (-3; 0; 6).

5. Exame 2006 - 2º Fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distancia d, entre o ponto P e a recta de perfil p.
Dados:
- o ponto P tem 2 de abcissa, 2 de afastamento e 3,5 de cota;
- a recta de perfil p é definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2)

6. Exame 2007 - 2ª Fase (programa em vigor de 2002 a 2006)
Determine graficamente a distância d do ponto P à recta passante r.
Dados:
– o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem –4 de abcissa e 4,5 de cota;
– os traços da recta r têm 4 de abcissa;
– as projecções da recta fazem, ambas, ângulos de 50° (de abertura à direita) com o eixo x.

7. Exame de 2009 - 2ª Fase (programa em vigor a partir de 2006)

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, alfa e beta.

Dados:

- o traço frontal do plano alfa intersecta o eixo x no ponto com -10 de abcissa e faz um ângulo de 60ª com abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo.

- o plano beta contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10, 7; -3)

Resumo do Alfabeto do Plano - 10º ano

Plano de Frente ou Frontal Pode conter as seguintes rectas:    - Recta de frente (f)    - Recta vertical (v)    - Recta fronto-horizontal (h)
Plano de Nível ou Horizontal Pode conter as seguintes rectas:    - Recta de nível (n)    - Recta de topo (t)    - Recta fronto-horizontal (h)
Plano Oblíquo Pode conter as seguintes rectas:    - Recta de nível (n)    - Recta de frente (f)    - Recta oblíqua (r)    - Recta de perfil (p)    - Recta passante (g)
Plano Passante Pode conter as seguintes rectas:    - Recta fronto-horizontal (h)    - Recta passante oblíqua (r)    - Recta passante de perfil (p)
Plano de Perfil Pode conter as seguintes rectas:    - Recta de topo (t)    - Recta vertical (v)    - Recta de perfil (p)    - Recta passante de perfil (g)
Plano de Rampa Pode conter as seguintes rectas:    - Recta fronto-horizontal (h)    - Recta oblíqua (r)    - Recta de perfil (p)
Plano de Topo Pode conter as seguintes rectas:    - Recta de topo (t)    - Recta de frente (f)    - Recta oblíqua (r)    - Recta passante (g)
Plano de Vertical Pode conter as seguintes rectas:    - Recta de vertical (v)    - Recta de nível (n)    - Recta oblíqua (r)    - Recta passante (g)

Rectas - 10ºB

Recta vertical, oblíqua ou passante

Neste desenho, as posições da recta s variam entre:
- vertical (quando a recta s é perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção e paralela ao Plano Frontal de Projecção);
- oblíqua (quando a recta s é oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção, mas não intersecta o eixo x);
- oblíqua passante ou, simplesmente, passante (quando a recta s é oblíqua aos dois Planos de Projecção, intersectando-os no eixo x).
As projecções da recta s em cada uma das situações referidas poderão ser as seguintes:
- quando a recta s é vertical, s1 projecta-se apenas num único ponto, coincidente com a projecção horizontal do ponto A (A1); enquanto que s2 é perpendicular ao eixo x;
- quando a recta s é oblíqua, tanto s1 como s2 são oblíquas ao eixo x (mas não se intersectam no eixo x);
- quando a recta s é passante, as projecções s1 e s2 são oblíquas ao eixo x e intersectam-se no eixo x, ficando os seus traços frontal e horizontal coincidentes (e com a cota e afastamento nulos), porque a recta s intersecta o P.F.P. no exacto ponto em que a recta intersecta também o P.H.P..
O comprimento do segmento de recta [HsA] projectar-se-á em verdadeira grandeza apenas na situação em que a recta s é vertical (quando s2 é perpendicular ao eixo x, projectando-se a verdadeira grandeza entre H2s e A2). Quando a recta s é passante ou oblíqua, nunca se projectará em verdadeira grandeza em nenhum dos Planos de Projecção.

retirado do blog da professora Vera.

PERPENDICULARIDADE e ORTOGONALIDADE - 11ºB

Perpendicularidade nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

Nos Exames Nacionais, saíram apenas dois exercícios de Perpendicularidade, porque foi apenas a partir de 2006 que esta matéria passou a ser leccionada no último ano de escolaridade da disciplina:

Exame de 2006 - 2ª Fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006):
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

Exame de 2007 - 2ª fase (Exame de GD-A, em vigor a partir de 2006):
Determine os traços do plano beta, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano alfa contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
- o plano beta contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

Domingo, 4 de Outubro de 2009

Ficha de trabalho - Perpendicularidade

1. Determina as projecções de uma recta r, sabendo que:
- o seu traço horizontal tem abcissa nula e 6 de afastamento
- o seu traço frontal tem 7 de abcissa e 3 de cota negativa.
1.1. Desenha um plano alfa, perpendicular à recta r, sabendo que contém o ponto P (-4; 4; 4).

2. Considera a mesma recta do exercício anterior e desenha as projecções de uma outra recta s, paralela ao Plano Frontal de Projecção, de direcção perpendicular à da recta r, passando pelo ponto P (3; 2,5; 2).

3. Desenha as projecções de uma recta horizontal h, sabendo que:
- o seu traço frontal tem 3 de cota e 2 de abcissa negativa
- faz um ângulo de 30º (a.p.e.) com o P.F.P.
3.1. Desenha uma recta p, oblíqua e perpendicular à recta h, sabendo que é concorrente com esta num ponto do beta13.

4. Considera a mesma recta h do exercício anterior e desenha as projecções de uma recta a, também horizontal, mas ortogonal à recta h. (rectas ortogonais têm direcções perpendiculares, mas não são concorrentes).5. Desenha uma recta r, sabendo que:
- contém o ponto A (0; 2,5; 4)
- as suas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita.
5.1. Desenha as projecções de uma recta oblíqua s, de direcção perpendicular à da recta r, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- contém o ponto P (-6; 2; 4)

6. Considera um plano de rampa alfa, cujos traços horizontal e frontal têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.
6.1. Determina as projecções de uma recta g, perpendicular ao plano de rampa, sabendo que contém P (3; 4)

Unidade 2 - PERPENDICULARIDADE - ORTOGONALIDADE

O segundo conteúdo programático inclui os seguintes sub-temas:

• Noção de perpendicular e de ortogonal
• Constatação de que as rectas que têm ambas as projecções homónimas perpendiculares não são perpendiculares no espaço (excepto no caso das rectas fronto-horizontal e de perfil)
  
• Rectas horizontais perpendiculares entre si
• Rectas frontais perpendiculares entre si
  
• Rectas horizontais ortogonais entre si
• Rectas frontais ortogonais entre si
  
• Recta horizontal perpendicular a uma recta oblíqua
• Recta frontal perpendicular a uma recta oblíqua
• Recta horizontal ortogonal a uma recta oblíqua
• Recta frontal ortogonal a uma recta oblíqua
• Outras rectas perpendiculares entre si (excluindo os casos das rectas oblíquas)
  
• Recta perpendicular a um plano dado (incluindo o plano de rampa)
• Plano perpendicular a uma recta (incluindo a recta de perfil)
• Rectas oblíquas perpendiculares entre si
  
• Planos oblíquos perpendiculares entre si
• Planos de rampa perpendiculares entre si
• Planos perpendiculares aos planos bissectores
• Outros planos perpendiculares entre si
  

Para leccionar esta unidade deverão ser necessários ( previsivelmente ) cerca de 6 tempos lectivos (três aulas de 90 minutos cada).

PROJECÇÕES ORTOGONAIS - 10º ano

Para melhor se entender o porquê deste método de representação.

PARALELISMOS - Aula de hoje 11º ano

Quarta-feira, 23 de Setembro de 2009

Paralelismo nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva e Ficha de Trabalho

O Paralelismo apareceu apenas uma única vez nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva, no exercício seguinte:
1. Exame de 2008, 2ª fase (GD-A, em vigor a partir de 2006)
Determine as projecções da recta b paralela ao plano α e ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).
– o plano α é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
– o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
– a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).
Observação: Para a determinação da recta pedida, era necessário definir uma outra recta pertencente ao plano oblíquo dado e ao beta 2,4 (esta recta é, necessariamente, passante, com as projecções coincidentes e tem de conter pelo menos dois pontos do plano, também com as projecções coincidentes). Nesta proposta de resolução, a recta i foi definida pelo ponto I da recta oblíqua r e pelo ponto I', da recta passante s). Podiam ter sido determinados os traços do plano oblíquo, mas não eram necessários.
Para praticarem este conteúdo, sugiro a resolução dos seguintes exercícios:

Ficha de Trabalho - Paralelismo
1. Considerando um plano oblíquo, desenha uma recta horizontal h, paralela a esse plano, sabendo que
- o plano oblíquo contém a recta r
- a recta r é definida por A (0; 3; 2) e B (4; -4; 4)

- o traço frontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.p.e.)

- a recta h contém o ponto P (-3; 2; 6)

(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)

2. Passando pelo ponto P (-3; 3), desenhar um plano beta, paralelo ao plano de rampa téta, cujos traços frontal e horizontal têm, respectivamente, 5 de cota e 3 de afastamento.
3. Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa, definido por um ponto A (4; 2; 8) e por uma recta de perfil p, que contém os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).
3.1. Determine ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto W (0; 0; 4)
(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)4. Determina os traços de um plano oblíquo alfa, definido pelo ponto A (-3; 2; 3) e por uma recta frontal f, que contém o ponto B (-7; 5; -5) e cuja projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x.
4.1. Determina ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto X, situado na origem das coordenadas.
(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)5. Representa um plano oblíquo alfa, sabendo que os seus traços horizontal e frontal se intersectam num ponto de abcissa nula e que fazem, com o eixo x, ângulos de 45º (a.p.e.) e 60º (a.p.d.).
5.1. Determina os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto P (-3; 3; 3).

Unidade 1 - PARALELISMO

Este primeiro conteúdo programático inclui os seguintes sub-temas:

• Rectas paralelas entre si (incluindo rectas de perfil)
• Rectas paralelas a um plano dado
• Rectas paralelas a planos bissectores
• Plano paralelo a uma recta dada
• Planos paralelos entre si (incluindo planos de rampa)

Para leccionar esta unidade deverão ser necessários cerca de 4 tempos lectivos (duas aulas de 90 minutos cada).

retirado do blogue da professora Vera

Exercícios do teste diagnóstico do 11º ano

EXERCÍCIOS DO TESTE DIAGNÓSTICO

Basta clicar Aqui => RESOLUÇÃO

Mensagem de boas-vindas e de óptimo ano escolar 2009 - 2010

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A todos os alunos e professores que por aqui venham de visita, um grande bem-haja.

Esta "ferramenta" é hoje aberta a todos os interessados para que possa ajudar na compreensão, divulgação, comunicação e informação nas específicas matérias relacionadas com a disciplina de Geometria Descritiva na nossa escola.

Bom ano e Bom Trabalho

JS.