Triângulo isósceles em plano de topo - 10º ano

Determine as projeções de um triângulo isósceles ABC, existente num plano de topo δ sabendo que:

• O ponto A ( 0; 6; 5) é o vértice do triângulo com maior afastamento e menor abcissa;
• O plano de topo δ faz 60º (a.d.) com o P.H.P.;
• Os lados AB e AC medem 7 cm;
• O ponto B pertence ao Plano Frontal de Projeção;
• O ponto C pertence ao Plano Horizontal de Projeção;

EXERCÍCIOS DE CONSOLIDAÇÃO DA MATÉRIA LECCIONADA - 10º ANO

EXERCÍCIO 1 - SÓLIDO:
Determine as projeções de uma pirâmide pentagonal oblíqua, de base frontal, sabendo que:
- A base é o pentágono regular ABCDE inscrito numa circunferência de centro O ( -1; 1; 5 ) e com 4 cm de raio;
- O ponto A é o vértice mais à direita da base;
- O vértice da pirâmide é o ponto V (5; 8; 6,5)
- A aresta AV do sólido é horizontal

EXERCÍCIO 2 - SÓLIDO:
Determine as projeções de um prisma quadrangular oblíquo, de bases horizontais, sabendo que:
- Os quadrados das bases medem 6 cm de lado;
- O ponto A (0; 3,5; 2) é o vértice situado mais à esquerda da base ABCD;
O vértice B, consecutivo de A, pertence ao Plano Frontal de Projeção;
- As arestas laterais do prisma são frontais, fazem ângulos de 60º (a.e) com o Plano Horizontal de Projeção e medem 8 cm;

 EXERCÍCIO 3 - INTERSEÇÕES:
Determine as projeções da reta i de interseção dos planos oblíquos Alfa e Beta, sabendo que;
- Os traços horizontal e frontal do plano Alfa fazem, com o eixo X, 40º (a.e.) e 60º (a.d.) respetivamente, e são concorrentes no ponto de abcissa nula;
- O traço frontal do plano Beta é paralelo ao traço horizontal do plano Alfa;
- O plano Beta contém o ponto R (0; 2,5; 2) de uma reta r cujas projeções frontal e horizontal são perpendiculares às projeções frontal e horizontal do plano Alfa.

EXERCÍCIO 4 - INTERSEÇÕES
Determine as projeções do ponto I de interseção entre uma reta r e um plano Alfa sabendo que:
- A reta r é oblíqua passante e interseta o eixo X no ponto com -5,5 cm de abcissa;
- A projeção horizontal da reta r faz 40º (a.e.) e a sua projeção frontal faz 50º (a.e.);
- O plano Alfa é de rampa, e os seus traços horizontal e frontal têm 4 cm de afastamento e 6 cm de cota, respetivamente.

CUBO - 10º ANO ( a partir dos dados do exercício 3 do exame de 2019, 1ª fase)

Represente, pelas suas projeções, um cubo. 
Dados:
− a face [ABCD] do cubo pertence a um plano de perfil com zero de abcissa;
− o vértice A tem 5 de cota e pertence ao Plano Frontal de Projeção;
− o lado [AB] define um ângulo de 50º com o Plano Horizontal de Projeção e o vértice B tem cota nula;
− a outra face de perfil tem abcissa negativa;

INTERSEÇÃO de RETA com PLANO - 10º ANO (exercício de exame)

2016, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta r com o plano alfa.
Dados:
- o plano alfa contém o ponto A (5; -2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
- o traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 35º de abertura para a direita, com o eixo x;
- a recta r contém o ponto P (-7; 0; 0);
- a projecção horizontal da recta r é perpendicular ao traço horizontal do plano alfa;
- a projecção frontal da recta r é paralela ao traço frontal do plano alfa.

SÓLIDO - 10º ano

Represente um prisma triangular oblíquo de bases regulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados:
– as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
– os pontos A (0; 6,5; 0) e B (5; 6,5; 1,5) são dois vértices consecutivos de uma das bases;
– o ponto A e o ponto D (0; 2,5; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma.

Exercício de interseção de exame nacional - 10º ano

2016, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta r com o plano alfa.
Dados:
- o plano alfa contém o ponto A (5; -2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
- o traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 35º de abertura para a direita, com o eixo x;
- a recta r contém o ponto P (-7; 0; 0);
- a projecção horizontal da recta r é perpendicular ao traço horizontal do plano alfa;
- a projecção frontal da recta r é paralela ao traço frontal do plano alfa.

EX 24 e 25 da página 317 do manual - 10º ANO

EX 24: Determine a interseção da reta de topo t com o plano Alfa sabendo que:
- A reta de topo t tem 5 cm de cota e -5 cm de abcissa;
- Os traços horizontal e frontal do plano Alfa fazem ângulos de 60º (a.d.) e 45º (a.e.), de abertura para a direita e para a esquerda, respetivamente, com o eixo X, intersetando-o no ponto X (-5, 0; 0).

EX 25: Determine a interseção da reta p com o plano Alfa sabendo que:
- O plano Alfa contém uma reta f frontal com 5 cm de afastamento que interseta o P.H.P num ponto 4 cm à direita da abcissa nula.
- A reta f interseta o Beta 1.3 num ponto de abcissa nula
- Os traços do plano Alfa são concorrentes com o eixo X num ponto de 8 cm abcissa negativa.
- A reta p é de perfil passante e contém o ponto P ( 0; -8; -5 ).

HEXÁGONO em PLANO VERTICAL - 10º ano

1998, Prova Modelo (código 109)
Determine as projeções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano vertical α existente  do primeiro diedro.
Dados:
- O plano α faz um diedro de 45º com o plano frontal de projeção, com abertura para a direita;
- O ponto A, que é um vértice da figura, pertence ao plano frontal de projeção e tem 2,5 cm de cota;
- o lado do hexágono mede 5 cm;
- o vértice B, que é contíguo ao vértice A, pertence ao plano horizontal de projeção.

1º exercício de INTERSEÇÃO de RETA com PLANO - 10º ANO

EX 1: 2005, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projeções do ponto I de interseção da reta oblíqua r com o plano oblíquo β.
Dados:
– a reta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
– os traços do plano β intersetam o eixo x num ponto com – 2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

EX 2: 2007, 1.ª Fase (código 708)
Determine o ponto de interseção I, da reta horizontal n com o plano de rampa ρ.
Dados:
– o plano ρ é definido pelo ponto A (– 2; 2; 8) e pela reta a;
– a reta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β24;
– a reta n contém o ponto N (– 4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção.

ângulos entre reta e plano - 11º ano

2011, Época especial (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo, formado pela reta passante s e pelo plano oblíquo ω .
Dados:
– o plano omega contém os pontos F (– 5; 0; 7), G (– 9; 0; 0) e
H (– 6; 2; 0);
– a reta s cruza o eixo x no ponto M (7; 0; 0);
– as projeções, horizontal e frontal, da reta s, fazem, respetivamente,ângulos de 30º e de 50º, ambos de abertura para a
direita, com o eixo x.

SÓLIDO - EXERCÍCIO "QUASE" IMPOSSÍVEL

Determine as projecções de uma pirâmide hexagonal regular existente no Iº diedro.
O centro da base [ABCDEF] é o ponto O (0; 4; 3).
O vértice principal do sólido é o ponto V(6;0;6).
A aresta [AB] da base pertence ao Plano Horizontal de Projecção.

INTERSEÇÃO MAIS RECENTE - 10º ano

2000, 2.ª Fase (código 109)
Determine a reta de interseção i do plano de topo π com o plano oblíquo α, sabendo que:
– o plano de topo π interseta o eixo x no ponto de abcissa 5 e faz, com o plano horizontal de projeção, um diedro de 60º, de abertura para a direita;
– o plano oblíquo α é definido por uma reta de perfil p e pelo ponto C (0; 3; 3);
– a reta de perfil p contém os pontos A (8; 8; 3) e B (8; 3; 8).

INTERSEÇÃO ANTIGA

1982, 1.ª Fase, 2.ª Chamada
Determine as projeções da reta de interseção dos planos αlfa e β.
Dados:
– o plano α é definido por uma reta d que faz 90º com o traço horizonral do plano αlfa ;
– o traço horizontal da reta d tem 3 de afastamento e as suas projeções, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos de 45º de abertura para a esquerda;
– o plano β é oblíquo aos planos de projeção, interseta o eixo x no ponto N à distância de 6 para a direita da linha de chamada do traço horizontal da reta d do plano α e os seus traços, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos respetivamente iguais a 45º e 70º de abertura para a esquerda.

Sólido - 10º ano

EX1: Represente uma pirâmide quadrangular regular de base horizontal, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados:
– o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 6; 0);
– o ponto A (3,5; 8; 6) é um dos vértices da base [ABCD].

EX2: Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular oblíqua, sabendo que:
Dados:
– a base é um quadrado [ABCD] frontal;
– A (0; 2; 0) e C (0; 2; 8) definem uma diagonal vertical do quadrado;
– o vértice é o ponto V (– 6; 7; 7);

EXERCÍCIOS de INTERSEÇÕES - aula 10º ano

2003, 1.ª Fase, 1.ª Chamada
EX1: Determine as projeções da reta i de interseção do plano ν com o plano α.
Dados:
– o plano ν é horizontal e contém um ponto A (5; 3; 7);
– o plano a é oblíquo e contém o ponto B (– 5; 2; 3);
– o traço horizontal do plano α cruza o eixo x no ponto de abcissa nula e faz, com o mesmo, um ângulo de 45º (abertura para a direita).

2006, 1.ª Fase
EX2: Determine as projeções da reta i, de interseção dos planos oblíquos β e ω .
Dados:
– o plano β é definido pelas retas paralelas r e s;
– a reta r contém os pontos R (0; 1; 5) e S (1; 2; 3);
– a reta s contém o ponto T (4; 1; 2);
– os traços do plano ω intersetam-se num ponto com – 8 de abcissa: o traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, e o traço frontal faz um ângulo de 60° com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda)

2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada
EX3: Determine a reta de interseção i dos dois planos ρ e θ .
Dados:
– o plano ρ é de rampa e é definido pelo seu traço frontal, que tem 3 de cota, e por uma reta a, fronto-horizontal, que tem 4 de afastamento e 1 de cota;
– o plano θ é de topo e faz um diedro de 30º (abertura para a direita, no primeiro diedro) com o plano horizontal de projeção.
 

INTERSEÇÕES - Planos oblíquos - 10º Ano

2009, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projeções da reta de interseção dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.
Dados:
– os traços do plano α intersetam o eixo x no ponto com – 1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a reta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

EXERCÍCIO INTERSEÇÕES - 10º ano

2009, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projeções da reta de interseção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados:
– o plano π interseta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respetivamente,ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

Reta I de interseção de dois planos de rampa - 11º Ano

1996, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine a reta i de interseção de dois planos, α e β.
Dados:
– o plano α é de rampa, tendo o traço horizontal 2 de afastamento e o traço frontal 5 de cota;
– o plano β está definido por duas retas, r e s, concorrentes no ponto P (1,5; 2,5);
– a reta r é fronto-horizontal;
– as projeções da reta s são paralelas, fazendo a projeção horizontal um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita.

SECÇÃO DE RAMPA EM PIRÂMIDE PENTAGONAL OBLÍQUA

2008, 2.ª Fase (código 708)
Represente pelas suas projeções uma pirâmide pentagonal oblíqua com base contida no plano horizontal de projeção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ. Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.
Dados:
– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (4; 5; 0) e 5 cm de raio;
– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;
– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;
– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

Interseção entre dois planos de rampa - 10º ANO

Exame 1999, 2.ª Fase (código 109)
Determine a reta de interseção i dos planos de rampa α e β.
Dados:
– o traço horizontal do plano α tem 4 de afastamento, e o seu traço frontal tem 5 de cota;
– o plano β é definido pelo seu traço horizontal, que tem 6 de afastamento, e pelo ponto B (0; 3; 2).

Exame 2010, 1.ª Fase (código 708) - 3º exercício - SECÇÕES

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados. Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base. Preencha a tracejado a projeção visível da secção.
Dados: – a base está contida num plano horizontal;
            – o vértice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;
            – o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

EXERCÍCIO Proposta 16 página 316 do manual 10ºano

Determine as projeções da reta i de interseção entre os planos Teta e Ró, sabendo que:
- O plano Teta é definido pelas retas a e b, que contêm, respetivamente, A(0; -2; 8) e B(0; 2; 5);
- O plano Ró é definido pelo eixo X e pela reta c, com 3 cm de afastamento e 2 cm de cota.

EXERCÍCIO Proposta 9 página 315 do manual 10ºano

Determine as projeções da reta i de interseção dos planos Pi e Beta, sabendo que:
- O plano Pi é definido por A (0; 6; 3), B(0; -3; 3) e C (-5; 6; 3);
- O plano Beta é de topo, contém D (0; 0, 0) e faz 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projeção.

INTERSEÇÃO entre 2 PLANOS OBLÍQUOS - 10º ANO

Desenhe as projeções da reta i de interseção de dois planos α e β.
Dados:
– o plano α é definido pelos pontos A (0; – 7; 5), B (– 3; 0; 0) e
C (– 7; 0; 4);
– o plano β é definido por duas retas, h e f, concorrentes no ponto P (– 9; 0; 0);
– a reta h é horizontal e faz um ângulo de 45º com o plano frontal de projeção, de abertura para a esquerda;
– a reta f é frontal e a sua projeção frontal coincide com a projeção horizontal da reta h.

EXERCÍCIO 10º ANO - 1º exercício de 2020

Represente um prisma triangular oblíquo de bases regulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:
– as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
– os pontos A (0; 6,5; 0) e B (5; 6,5; 1,5) são dois vértices consecutivos de uma das bases;
– o ponto A e o ponto D (0; 2,5; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma.