AULA de HOJE - 18 de SETEMBRO - 11ºA

 11ºA - 08.15 às 10:05

SUMÁRIO: Exercícios de AXONOMETRIA - DIMETRIA

 EXERCÍCIO #01 - INTERSEÇÕES:

LÊ COM MUITA ATENÇÃO O ENUNCIADO

Determine as projeções da reta i de interseção dos planos oblíquos Alfa e Beta, sabendo que;

- Os traços horizontal e frontal do plano Alfa fazem, com o eixo X, 40º (a.e.) e 60º (a.d.) respetivamente, e são concorrentes no ponto de abcissa nula;

- O traço frontal do plano Beta é paralelo ao traço horizontal do plano Alfa;

- O plano Beta contém uma reta r cujas projeções frontal e horizontal são perpendiculares às projeções frontal e horizontal do plano Alfa, e que passa no ponto R (0; 2,5; 2).

Exercício #02

Determine as projeções de um prisma hexagonal oblíquo

de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados

• as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
• o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
• as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
• os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;

Exercício #03

Determine as projeções do ponto I resultante

da intersecção da reta fronto-horizontal g com o plano α.
Dados

• a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β13,bissetor dos diedros ímpares;
• o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 cm de abcissa e pela reta frontal f;
• a reta f contém o ponto P (0; 4; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2014 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

• SÓLIDOS - exercício #04:

- Determine as projeções de uma pirâmide pentagonal oblíqua de base frontal sabendo que:
Dados:
- o ponto O (0, 8; 4) é o centro da base do sólido;
- o Ponto A da base tem a mesma abcissa do Ponto O e pertence ao Plano Horizontal de Projeção.
- O vértice V tem a mesma cota dos Pontos C e D da base e a mesma

abcissa do centro, e menor afastamento do que a base;

- A pirâmide tem 7 cm de altura.

Exercício #EXTRA

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta m com o plano bissector dos diedros pares, β24.

Dados: −− a reta m contém o ponto N e é uma das retas de maior declive do plano α;

−− o plano α é definido pelo ponto L (– 4; 3; 4) e pela reta de perfil p;

−− a reta p contém o ponto M (0; – 4; 4) e o ponto N com 7 de cota;

−− a reta p define um ângulo de 35º com o Plano Horizontal de Projeção e o seu traço horizontal tem afastamento positivo.

AULA de HOJE - 16 de SETEMBRO - 10ºA - #03 e #04 (TURNOS 1 e 2)

 10ºA - 15:00 às 15:50 e 16:00 às 16:50

Sumário: Donald e a GEOMETRIA - Apresentação dos princípios da Geometria

A Sagrada Geometria.

Sacred Geometry - Disney. Turma A do 10º ano. (ano 1959)

AULA de HOJE - 11 de JUNHO - 10ºA

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário. Exercícios em grupo

INTERSEÇÕES
SÓLIDOS

Exercício 01

- Determine as projeções dos traços dos Planos oblíquos Alfa e Beta sabendo que:

- Os dois planos possuem a mesma reta r do Beta 2.4. que contém o Ponto A (0; 4; -4) e que faz, na sua projeção frontal, 35º abertura à esquerda;

- O Plano Alfa contém o Ponto C ( 6; 5; 2 ) e o Plano Beta contém o Ponto D ( -3; -2; 5).

Exercício 02

- Determine o Ponto I de interseção entre a reta s e o Plano de rampa Omega, sabendo que:

- A reta s é paralela ao Beta 1.3., contém o Ponto S ( 2; 2; 4) e faz, na sua projeção horizontal, 60º abertura à esquerda;

- O Plano de rampa Omega contém a reta de perfil p existente na abcissa zero, cujo traço horizontal tem 8 cm de afastamento;

- A reta p faz 30º com o Plano Frontal de Projeção, e o seu traço frontal tem cota positiva.

Exercício 03

Desenhe as projeções de um cubo com duas bases

de perfil, sabendo que:
- O quadrado [ABCD] é a face de perfil mais à esquerda,

sendo A ( 1; 1,5; 3 ) e C ( 1; 9; 5) dois vértices opostos

do quadrado.

Exercício 04

Determine as projeções de um prisma quadrangular

oblíquo de bases horizontais sabendo que:
- O ponto A (3; 0; 2) e o ponto B, com -1 cm de abcissa

e 2,5 cm de afastamento, definem a aresta de

menor afastamento da base ABCD;
- As arestas laterais do prisma pertencem a retas

cujas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo X,

ângulos de 45º (a.d.) e 60º (a.d.), respetivamente;
- O prisma tem 5 cm de altura;

 

Exercício 02 - Professor João

Construa uma representação diédrica de um paralelepípedo retângulo, situado no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados

• a face [ABCD] do paralelepípedo está assente num plano de rampa;
• os pontos A, B e C são três vértices consecutivos dessa face;
• o vértice A tem 3 de abcissa e 5 de cota, e o vértice B tem 7 de abcissa e 1 de cota
• O traço horizontal do Plano de Rampa tem 7 cm de afastamento.
• O paralelepípedo tem 6 cm de altura.

Exercício 3 - Reta Interseta Sólido

Determine as projeções dos Pontos de entrada e de saída de uma reta r num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados

• as bases do prisma são hexágonos regulares com 4 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
• o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
• as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
• os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;
• a reta r contém o ponto de abcissa –3 do eixo x e faz um ângulo de 55°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.
• A reta pertence ao Beta 1.3.

 

Exercício #01 - SÓLIDOS - continuação do estudo

Determine as projeções de um paralelepípedo retângulo, situado no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Construa uma terceira projeção do paralelepípedo, lateral, obtida no plano de perfil yz.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados

• a face [ABCD] do paralelepípedo está assente no plano frontal de projeção;
• os pontos A, B e C são três vértices consecutivos dessa face;
• o vértice A tem 3 de abcissa e 5 de cota, e o vértice B tem 7 de abcissa e 1 de cota
• a aresta [BC] mede 3,5 cm;
• as diagonais espaciais do sólido medem 9 cm.

Exercício #02

Determine as projeções do ponto I de interseção da reta oblíqua r com o plano oblíquo β.
Dados

• a reta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
• os traços do plano β intersetam o eixo x num ponto com – 2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

Exercício #03

Determine as projeções de um prisma hexagonal oblíquo

de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados

• as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
• o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
• as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
• os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;

AULA de HOJE - 28 de MAIO - 10ºA

 

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário. Exercícios de consolidação das aprendizagens
SÓLIDOS

SÓLIDOS - exercício 01:

Represente as projeções de um cilindro oblíquo existente

no 1º diedro, sabendo que:
- as suas bases são frontais e o Ponto O (-5; 2; 7) é o centro

da base de menor afastamento do sólido que tem 4 cm de raio;
- o cilindro mede 9 cm de altura e o seu eixo faz 60º (a.e.) na

sua projeção horizontal;
- a outra base é tangente ao Plano Horizontal de Projeção;
- o Plano de topo ψ contém o Ponto de menor cota da

base de maior abcissa e faz 55º (a.d.);

SÓLIDOS - exercício 02:

- Determine as projeções de uma pirâmide pentagonal oblíqua de base frontal sabendo que:
Dados:
- o ponto O (0, 8; 4) é o centro da base do sólido;
- o Ponto A da base tem a mesma abcissa do Ponto O e pertence ao Plano Horizontal de Projeção.
- O vértice V tem a mesma cota dos Pontos C e D da base e a mesma

abcissa do centro, e menor afastamento do que a base;

- A pirâmide tem 7 cm de altura.

SÓLIDOS - exercício 03:

Represente as projecções de um prisma pentagonal oblíquo

com a base [ABCDE] contida num plano horizontal, de acordo

com os dados abaixo apresentados.

      Dados:

- a base de menor cota do sólido é o pentágono [ABCDE] que

tem como centro o ponto O (0 ;5 ;3) e como um dos seus vértices

o ponto A (1,5 ; 1 ; 3);

- as arestas laterais são frontais, medem 7 cm e fazem ângulos

de 45º de abertura à direita com o plano horizontal de projeção;

 EXAME NACIONAL - INTERSEÇÕES

Exercício 01

Determine as projeções do ponto I resultante

da intersecção da reta fronto-horizontal g com o plano α.
Dados

• a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β13,bissetor dos diedros ímpares;
• o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 cm de abcissa e pela reta frontal f;
• a reta f contém o ponto P (0; 4; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2014 / 2.ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 02

Determine as projeções da reta de intersecção dos planos de rampa θ e passante σ.
Dados
- o plano θ contém a reta de perfil p, definida pelos
pontos F (‒2; 0; 4) e A, com ‒2 de afastamento e 7 de cota;
- o plano σ contém o ponto R (4; 6; ‒2).

Exercício 03

Represente os traços dos planos α e θ nos planos de projeção.
Dados:

• a reta i, de perfil, pertencente ao bissector dos diedros pares, β24 , é comum aos dois planos;

• o ponto P, com zero de abcissa e 5 de cota, pertence à reta i;

• o ponto A (– 6; 5; 2) pertence ao plano α;

• o traço frontal do plano θ define um ângulo de 70º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

 
Exercício TIPO 03 - Seção de sólido por Plano Oblíquo

Represente, pelas suas projeções, a figura de secção produzida por um plano oblíquo δ num prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos frontais.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e da figura de secção.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e da figura de secção.
Dados:
·  o vértice A da base [ABCD], com zero de abcissa e 2 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13;
·  as arestas das bases medem 7 cm;
·  a aresta [AB] é frontal, e o vértice B, com abcissa negativa, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
·  a aresta lateral [AA’] existe no plano bissector dos diedros ímpares, β13, e a sua projeção frontal define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
·  o prisma tem 5 cm de altura;
·  o plano δ contém o vértice B’ da base [A’B’C’D’];
·  o traço horizontal do plano δ define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
·  o traço frontal do plano δ define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x.

Proposta de resolução (2023 / 1.ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

AULA de HOJE - 21 de MAIO - 10ºA

10ºA - 08:15 às 10:05

Sumário. Exercícios de consolidação das aprendizagens

INTERSEÇÕES

EXERCÍCIO Tipo ITEM 01

Determine as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta horizontal h e um Plano oblíquo Alfa, sabendo que:
- A reta h contém o Ponto P (5; 5; 3) e faz 45º (a.e.) abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção;
- O plano Alfa contém o ponto K do eixo X com -5cm de abcissa e uma refa frontal f;
- A reta f passa pelo Ponto S (-4; 2; 3), e faz um ângulo de 45º (a.e.) abertura para a esquerda com o Plano Horizontal de Projeção.

Determine as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta  p e um Plano oblíquo Alfa, sabendo que:

- O plano Alfa contém o ponto A do Beta 1.3. com 3 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;

-Os traços horizontal e frontal do Plano Alfa são coincidentes;

O traço horizontal de Plano Alfa define um ângulo de 60º (a.e.) de abertura à esquerda, com o eixo X;

- A reta p é de perfil, está contida no plano bissetor dos diedros pares, Beta 2,4, e tem - 2cm de abcissa

  C) EXERCÍCIO Professor João: Interseções (fazer com a folha na vertical)

Determine as projeções de uma reta i de interseção entre um plano de rampa Alfa e o Beta 2.4, sabendo que:

Dados:

- O Ponto A ( -1; 2; 3) pertence a uma reta oblíqua s cujas projeções frontal e horizontal fazem 30ª (a.d) e 60º (a.d.), respetivamente;

- O plano Alfa é paralelo à reta s e o seu traço frontal tem -5 cm de cota.

  D) EXERCÍCIO de exame nacional de 1999 - 2a fase

AULA de HOJE - 20 de MAIO - 11ºA

 11ºA- 08:15 às 10:05

SUMÁRIO: EXERCÍCIOS DE EXAME - TIPOLOGIA 1 2 3 4 e 5 

EXERCÍCIO Tipo ITEM 01

Determine as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta horizontal h e um Plano oblíquo Alfa, sabendo que:
- A reta h contém o Ponto P (5; 5; 3) e faz 45º (a.e.) abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção;
- O plano Alfa contém o ponto K do eixo X com -5cm de abcissa e uma refa frontal f;
- A reta f passa pelo Ponto S (-4; 2; 3), e faz um ângulo de 45º (a.e.) abertura para a esquerda com o Plano Horizontal de Projeção.

Determine as projeções do Ponto I de interseção entre uma reta  p e um Plano oblíquo Alfa, sabendo que:

- O plano Alfa contém o ponto A do Beta 1.3. com 3 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;

-Os traços horizontal e frontal do Plano Alfa são coincidentes;

O traço horizontal de Plano Alfa define um ângulo de 60º (a.e.) de abertura à esquerda, com o eixo X;

- A reta p é de perfil, está contida no plano bissetor dos diedros pares, Beta 2,4,, e tem - 2cm de abcissa

  C) EXERCÍCIO Professor João: Interseções

Determine as projeções de uma reta i de interseção entre um plano de rampa Alfa e o Beta 2.4, sabendo que:

Dados:

- O Ponto A ( -1; 2; 3) pertence a uma reta oblíqua s cujas projeções frontal e horizontal fazem 30ª (a.d) e 60º (a.d.), respetivamente;

- O plano Alfa é paralelo à reta s e o seu traço frontal tem -5 cm de cota.

  D) EXERCÍCIO Professor João: Interseções com Verdadeira Grandeza de Figuras - a partir de exame nacional de 1999 - 2a fase

Determine as projeções de um quadrado ABCD com 4 cm de lado, existente no Plano Beta;

- Dois dos seus lados são frontais e o Ponto I é o centro desse quadrado.

AULA de HOJE - 15 de MAIO - 10ºA

10ºA - 14:25 às 17:15 (turno 1 e turno 2)

Sumário. Correção do Teste

tipo ITEM 04 - TPC

Item 4: Determine as projeções de um prisma quadrangular oblíquo no Io diedro sabendo que:

- A base de menor abcissa [ABCD] está contida num plano de perfil δ;
- O lado AB mede 6 cm e faz 70º com o Plano Horizontal de Projeção;
- O ponto A ( 0; 9; 3,5 ) é o vértice de maior afastamento do prisma, que tem 9 cm de altura;
- O vértice C’ da base pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem a mesma cota
do Ponto C.

Item 3: Determine as projeções de uma pirâmide pentagonal regular
situada no Io diedro sabendo que:
- A base está contida num plano de topo ψ que faz 60o (a.e.) abertura
à esquerda, com o P.H.P.;
- O ponto O ( 0; 5; 10 ) é o centro do pentágono [ABCDE] que está
inscrito numa circunferência tangente ao Plano Frontal de Projeção;
- O vértice A da base pertence ao Plano Frontal de Projeção;
- O vértice V é o ponto de menor cota do sólido e a pirâmide
mede 9 cm de altura;

AULA de HOJE - 15 de MAIO - 11ºA

 11ºA- 08:15 às 10:05

SUMÁRIO: EXERCÍCIOS DE EXAME - TIPOLOGIA 1 2 3 4 e 5 

EXERCÍCIO Tipo ITEM 05

idealizado por Tiago Boavida e Pedro Pedrosa

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma quadrangular regular e dois prismas quadrangulares oblíquos iguais, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Dados:
Sistema axonométrico:
– Isometria.
Prisma quadrangular regular:
– a base de menor afastamento [ABCD] do prisma pertence ao plano coordenado xz (plano frontal) e mede 4 cm de lado;
– o vértice A tem cota nula e 2 cm de abcissa;

– o lado AB dessa base está coincidente com o eixo X;
– o prisma tem 8 cm de altura;

Prismas quadrangulares oblíquos:

– Os prismas são iguais, as suas bases de menor cota estão contidas
no lado de maior cota do prisma regular, e medem 4 cm de lado;

– As suas arestas laterais são frontais; 

Prisma quadrangular oblíquo #01:

– a aresta CD da base de menor cota do prisma regular é a mesma da base de menor afastamento do prisma oblíquo ;
– a aresta DD´ do prisma é frontal, o ponto D´ tem cota igual a 9 cm e existe no plano coordenado zy;

Prisma quadrangular oblíquo #02:

- a base de maior cota deste prisma contém o Ponto de maior abcissa e de maior afastamento da base de maior cota do outro prisma oblíquo;
- uma das arestas da base de maior cota tem 8 cm de abcissa.

AULA de HOJE - 13 de MAIO - 11ºA

 11ºA- 08:15 às 10:05

SUMÁRIO: EXERCÍCIOS DE EXAME - TIPOLOGIA 1 2 3 4 e 5

Item 3 ou 4: Determine o sólido resultante da seção provocada por um Plano de topo

num cilindro oblíquo no Iº diedro sabendo que:

·      A base de menor abcissa está contida num plano de perfil δ;

·      Os raios das bases medem 4 cm, o Ponto O ( 0; 6; 6 ) é o centro da base

de menor abcissa e o cilindro mede 8 cm de altura;

·      O eixo é oblíquo e a outra base é tangente aos dois planos de projeção;

O Plano de topo faz 30 º (a.d.) com o P.H.P. e encontra a linha X num Ponto de abcissa 7:

Destaque com maior intensidade, a parte do cilindro que se encontra à direita do Plano de topo.

Item 3 ou 4: Determine o sólido resultante da seção provocada por um Plano Vertical

numa esfera do Iº diedro, sabendo que:

·      O centro da esfera é o Ponto O ( 0; 4; 5 ) e o seu raio é igual a 4 cm;

·     O Plano vertical faz 65 º (a.d.) com o P.F.P. e encontra a linha X num Ponto de abcissa igual ao Ponto de maior abcissa da esfera:

Destaque com maior intensidade, a parte da esfera que se encontra à direita do Plano vertical

AULA de HOJE - 12 de MAIO - 11ºA

11ºA- 10:20 às 12:10

SUMÁRIO: EXERCÍCIOS DE EXAME - TIPOLOGIA 1 2 3 4 e 5

Item 1:
Desenhe as projeções da reta i de interseção de dois planos α e θ sabendo que:

• O plano oblíquo α tem os seus traços coincidentes, o seu traço frontal faz 450 (a.e.) e contém o ponto X ( 0; 0; 0 );
• O plano θ é um plano passante definido pela linha X e o ponto P ( 2; 3; 5 );

Item 3-4:

Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua com 8  cm de altura situada no Iº diedro sabendo que;

·      a base [ABCD] da pirâmide é paralela ao plano frontal de projeção;

·      os pontos A e B são dois vértices consecutivos da base [ABCD];

·      o vértice A tem abcissa nula, 2 cm de afastamento e 6 cm de cota;

·      o vértice B tem 6 cm de abcissa e 2 cm de cota;

·      a aresta AV é de perfil e o vértice V pertence ao P.H.P.

·      Determina, ainda, a figura da seção provocada no sólido por um plano de rampa TETA,

paralelo ao Beta 1.3. cujo traço frontal tem 1 cm de cota.

Item 3-4:

Determine as SOMBRAS própria e projetada de uma pirâmide pentagonal oblíqua

situada no Iº diedro sabendo que:

·      A base [ABCDE] está contida num plano horizontal α;

·      O ponto O ( 5; 5; 9 ) é o centro dessa base do sólido;

·      O vértice A da base do pentágono está no plano frontal de projeção e pertence

a uma reta de topo t, que contém o ponto O;

·      A pirâmide tem 7 cm de altura;

·      O eixo da pirâmide é frontal, e faz 60º (a.e.) com o eixo X;

O foco de luz é o convencional.